Ultrafiltr

Ultrafiltr je matematický pojem z oboru teorie množin.

Obsah

1 Definice
2 Vysvětlení definice
3 Příklady a vlastnosti
4 Související články

[editovat] Definice

Je-li $X \,\!$ množina a $\mathbb{P}(X) \,\!$ její potenční množina (tj. množina všech jejích podmnožin), pak řekneme, že neprázdná množina $F \subseteq \mathbb{P}(X) \,\!$ je ultrafiltr, pokud platí:

$F \,\!$ neobsahuje prázdnou množinu
$A,B \isin F \implies A \cap B \isin F \,\!$
$(A \isin F \and A \subseteq B) \implies B \isin F \,\!$
$( \forall A \isin \mathbb{P}(X)) (A \isin F \vee X - A \isin F) \,\!$

[editovat] Vysvětlení definice

Podle bodu 2 je ultrafiltr dolů usměrněná množina, podle bodu 3 je to horní množina - jedná se tedy o filtr v potenční algebře.
Bod 1 a podmínka, podle které je ultrafiltr neprázdná množina, zaručují, že se jedná o vlastní filtr - ultrafiltr tedy není žádný z triviálních případů, kterými jsou prázdná množina a celá potenční množina $\mathbb{P}(X) \,\!$

Podle bodu 4 je v ultrafiltru obsažena podmnožina $A \subseteq X \,\!$ nebo její doplněk $(X - A) \subseteq X \,\!$ . Pokud by pro některou množinu $A \subseteq X \,\!$ obsahoval ultrafiltr tuto množinu, i její doplněk, pak by musel podle bodu 2 obsahovat i $A \cap (X - A) = \emptyset \,\!$ , a podle bodu 1 by se již nejednalo o ultrafiltr. Ultrafiltr tedy vždy obsahuje buď množinu, nebo její doplněk, ale nikdy ne obojí zároveň.
Tato vlastnost tedy zaručuje, že ultrafiltr je mezi ostatními vlastními filtry na potenční množině v jistém smyslu maximální - jakmile bychom se pokusili přidat k němu další množinu, pak výsledkem již nebude ultrafiltr, výsledkem již dokonce nebude ani filtr.

Zjednodušeně řečeno, „seká“ ultrafiltr celou potenční množinu na dvě části. Z každé dvojice podmnožina - její doplněk vybírá přesně jednu možnost.

[editovat] Příklady a vlastnosti

[editovat] Triviální ultrafiltr

Za hlavní filtr považujeme filtr všech nadmnožin nějaké množiny $A \subseteq X \,\!$ , hlavní filtr určený množinou $A \,\!$ tedy lze zapsat jako
$F(A) = \{ B \subseteq X : A \subseteq B \} \,\!$
Mezi hlavními filtry existují ultrafiltry - jsou to hlavní filtry určené jednoprvkovou množinou $A = \{a \} \,\!$ , kde $a \isin X \,\!$ . Tyto ultrafiltry jsou nazývány triviální ultrafiltry.

Na konečné množině je každý ultrafiltr triviální - celkový počet ultrafiltrů tedy odpovídá počtu prvků množiny $X \,\!$ .
Na nekonečné množině odpovídá počet triviálních ultrafiltrů mohutnosti množiny $X \,\!$ .

[editovat] Uniformní ultrafiltr

Ultrafiltr $\mathcal{U}$ na množině X se nazývá uniformní, má-li každá množina $A \in \mathcal{U}$ mohutnost rovnou mohutnosti množiny X. Zřejmě každý uniformní ultrafiltr je netriviální.

[editovat] Základní věta o ultrafiltrech

Nabízí se otázka, zda na nekonečné množině existují nějaké netriviální ultrafiltry. Kladnou odpověď dává základní věta o ultrafiltrech:
Každý centrovaný systém lze rozšířit do ultrafiltru.

Protože filtr je speciálním případem centrovaného systému, lze podle této věty každý filtr rozšířit (přidáním nějakých dalších podmnožin) na ultrafiltr. Vezmeme-li v úvahu například Fréchetův filtr a aplikujeme na něj tuto větu, získáváme důkaz o existenci ultrafiltru, který určitě není triviální.

Důkaz této věty podstatným způsobem používá princip maximality - větu nelze dokázat, bez přijetí axiomu výběru nebo nějaké jeho obdoby.

[editovat] Dualita s prvoideálem

Stejně jako u většiny pojmů z teorie uspořádání, má i ultrafiltr svůj duální pojem - prvoideál. Ke každému ultrafiltru $F \,\!$ existuje duální prvoideál - množina všech doplňků z $F \,\!$ :
$F^* = \{ X - A : A \isin F \} \,\!$

Vztah platí i opačně - množina doplňků k prvoideálu je ultrafiltr - duální ultrafiltr. Navíc je každý ultrafiltr duálním ultrafiltrem svého duálního prvoideálu, tj. platí
$(F^*)^* = F \,\!$

[editovat] Související články

Související články obsahuje
Portál Matematika

Kategorie: Teorie uspořádání

Ultrafiltr v jiných jazycích: Deutsch, English, Français, Italiano, Русский, Svenska, 中文

Tento článek je převzat z české wikipedie - otevřené encyklopedie, originální článek naleznete na adrese: „http://cs.wikipedia.org/wiki/Ultrafiltr“
Stránka byla naposledy upravena v Stránka byla naposledy editována 18. 10. 2008 v 13:51.
Veškerý text je dostupný za podmínek GNU Free Documentation License (Autorské právo pro podrobnosti).