Umocňování

Umocňování je matematická funkce, která vyjadřuje opakované násobení. Umocňování je k násobení v podobném vztahu, v jakém je samo násobení ke sčítání. Umocňování slouží ke zkrácenému zápisu vícenásobného násobení:

$\begin{matrix} \underbrace{ a\cdot a\cdot a\cdots a }&=a^b\\{b} \end{matrix}$

V tomto vzorci se a označuje jako základ mocniny (mocněnec) a b se nazývá exponent (mocnitel). Výsledek je b-tá mocnina čísla a, a na b-tou. Například $3\cdot3\cdot3\cdot3=81$ je tři na čtvrtou, což zapisujeme $34$ . Speciálním případem prázdného součinu je a⁰ = 1 (pro a ≠ 0, viz níže).

Tato funkce je vlastně posloupnost definovatelná rekurentně. Pokud a≠0 $a 0 = 1$ $a n + 1 = a n . a$ a pokud a=0,tak posloupnost ve tvaru $a n (n > 0)$ je konstantní a rovna nule.

Když z technických důvodů nelze psát exponent na horní pozici, používá se často zápis ve tvaru a^b, někdy také a**b.

[editovat] Zobecnění definice

Výše uvedená definice mocnění jako opakovaného násobení je použitelná jen pro přirozené exponenty. Záporné exponenty označují mocninu převráceného čísla:

$a^{-n} = \frac{1}{a^n} = \left( \frac{1}{a} \right)^n$

Zobecnění pro racionální exponent poskytuje definice:

$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$ .

Zobecnění na celý obor reálných čísel (tzn. rozšíření definice o mocniny s iracionálními exponenty) se pak dosahuje dodefinováním pomocí limity.

Mocniny s komplexním základem jsou definovány následujícím způsobem: Je-li $a + b i = r \cdot e^{i\varphi}$ s reálnými čísly a, b, n, r > 0 a φ, pak platí (viz Moivrovu větu)

$z^n\equiv (a+b\;i)^n = (r \cdot e^{i\varphi})^n = r^n \cdot e^{i\; n\varphi} = r^n \cdot (\cos (n \varphi) + i \sin (n \varphi))$

Pokud je navíc exponent a číslo obecně komplexní, pak je mocnina dána jako

$z^a=e^{a \operatorname{Ln\ }z}=e^{a\left(\operatorname{ln}|z|+i\varphi\right)},$

kde argument φ má nutně skok, jehož polohu však lze zvolit. Volí se zpravidla φ z intervalu <0;2π) nebo (-π;π>. Tedy mocnina je obecně mnohoznačná funkce a pokud není a celé číslo mocnina není na celé komplexní rovině holomorfní.

[editovat] Vlastnosti

$\left(a \cdot b \right)^x = a^x \cdot b^x$
$\left(\frac{a}{b}\right)^x = \frac{a^x}{b^x},\quad b\neq 0$
$a^x \cdot a^y = a^{x+y}$
$a^{-x} = \frac{1}{a^x},\quad a\neq 0$
$\frac{a^x}{a^y} = a^{x-y},\quad a\neq 0$
$\left(a^x\right)^y = a^{x\cdot y}$
$a 0 = 1$ pro a ≠ 0 (pro 0⁰ viz níže)

Umocňování není obecně komutativní (2³ = 8 ≠ 9 = 3²).

[editovat] Nula na nultou

Zcela obecně není výraz 0⁰ definován. Např. limita v tomto tvaru je tzv. neurčitý výraz a pro její vyčíslení je potřeba použít jinou techniku (např. L'Hospitalovo pravidlo). Důvodem pro tuto nedefinovanost je dvojí pohled na tento výraz: První pohled na výraz hledí jako na funkci x⁰, která je všude (kromě nuly) rovna jedné, takže je možno ji v nule dodefinovat stejně a klade se 0⁰ = 1. Naopak druhý pohled vychází z funkce 0^x, která je všude (kromě nuly) nulová, takže se v nule dodefinuje 0⁰ = 0.

V běžných situacích se používá hlavně první definice, podle které je

0⁰ = 1,

jindy je 0⁰ ponecháno nedefinované, v některých kontextech je možno se setkat i s použitím druhé definice.

Pro použití první definice existuje několik závažných důvodů, mezi nejdůležitější patří binomická věta, pro jejíž obecnou platnost je tato definice vyžadována.

[editovat] Mocniny nuly

Pokud je mocnitel kladný, pak je mocnina nuly nula. 0^x = 0, kde x > 0.

Pokud je mocnitel záporný, pak je mocnina nuly (0^−x, kde x > 0) nedefinována, protože dělení nulou není na množině reálných čísel ani na množině komplexních čísel definováno.

Pokud je mocnitel nulový, pak není mocnina nuly obecně definována (viz výše).

[editovat] Zvláštní mocniny

V každodenním životě často používáme mocniny o základu deset (to jsou 1, 10, 100, 1000, …). Tyto mocniny tvoří základ naší desítkové číselné soustavy, také v soustavě SI jsou předpony násobků jednotek označením mocnin deseti – 1 kg = 10³ g apod.

Počítače při zpracování dat používají dvojkovou soustavu, založenou na mocninách čísla 2. Z toho důvodu se někdy v informatice používají násobky jednotek jako mocniny o základu 2 – 1 KiB = 2¹⁰ B = 1024 B. (Viz též binární předpony.)

V matematice jsou zvlášť důležité mocniny o základu e ≅ 2,71828, takzvaného Eulerova čísla.

[editovat] Rychlost růstu

Mocnina je velice rychle rostoucí funkce, jedna z nejrychleji rostoucích běžně používaných funkcí. Příkladem rychlosti růstu je následující pozorování:

Příklad 1

List papíru se dá obvykle přeložit (na polovinu) jen asi sedmkrát. Výsledkem je 128 (2⁷) vrstev papíru. Pokud by (teoreticky) takový papír byl přeložen 42krát, vrstva papíru by měla tloušťku rovnající se vzdálenosti ze Země na Měsíc.

Příklad 2

Každý člověk má dva biologické rodiče, čtyři prarodiče, osm praprarodičů atd. Pokud sledujeme tento rodokmen dále, dejme tomu 70 generací, dostaneme se až do doby narození Ježíše Krista. V tomto případě počet předků každého člověka představuje 2⁷⁰ = 1 180 591 620 717 411 303 424 lidí. To výrazně přesahuje počet všech dosud žijících lidí.

[editovat] Související články

[editovat] Externí odkazy

Kolik je 0⁰? ve sci.math FAQ (anglicky)

Kategorie: Aritmetika

Umocňování v jiných jazycích: Afrikaans, العربية, Català, Dansk, Deutsch, English, Esperanto, Español, Eesti, فارسی, Suomi, Français, עברית, Hrvatski, Magyar, Bahasa Indonesia, Íslenska, Italiano, 日本語, 한국어, Latina, Lietuvių, Nederlands, ‪Norsk (bokmål)‬, Polski, Português, Runa Simi, Русский, Simple English, Slovenčina, Slovenščina, Српски / Srpski, Svenska, ไทย, Tagalog, Українська, Tiếng Việt, ייִדיש, 中文

Tento článek je převzat z české wikipedie - otevřené encyklopedie, originální článek naleznete na adrese: „http://cs.wikipedia.org/wiki/Umoc%C5%88ov%C3%A1n%C3%AD“
Stránka byla naposledy upravena v Stránka byla naposledy editována 24. 11. 2008 v 11:11.
Veškerý text je dostupný za podmínek GNU Free Documentation License (Autorské právo pro podrobnosti).