Integrál

(Přesměrováno z Určitý integrál, přímý odkaz na Integrál)

Bylo navrženo rozdělit tento článek na několik článků dostupných z rozcestníku. (Diskuse)

Integrál je jeden ze základních pojmů matematiky, konkrétně integrálního počtu. Pojem integrálu je zobecněním pojmů jako plocha, objem, součet či suma. Integrování je opačnou operací k derivování.

[editovat] Názorné vysvětlení

Integrál jako plocha pod křivkou.

Jednoduše řečeno je určitý integrál nezáporné funkce f(x) mezi nějakými dvěma body a, b roven ploše obrazce omezeného přímkami x=a, x=b, osou x a křivkou definovanou grafem funkce f. Formálněji řečeno, takový integrál je roven míře množiny S definované jako

$S= \{(x,y) \in \mathbb{R}^2:a \leq x \leq b ,0 \leq y \leq f(x)\}$

Integrál se značí stylizovaným protaženým písmenem S (z latinského summa). Toto značení vytvořil Gottfried Leibniz. Integrál z předchozího odstavce by se značil jako $\int_a^b f(x)\,{\rm d}x$ , kde znaménko ∫ značí integrování, a a b jsou integrační meze (jen u určitého integrálu), dx označuje proměnnou, podle které se integruje (původně označovalo infinitezimální hodnotu, dnes však slouží jen jako ryze symbolické označení bez dalšího významu).

[editovat] Neurčitý integrál

Seznamy integrálů

Tabulka integrálů elementárních funkcí
racionální funkce
iracionální funkce
exponenciální funkce
logaritmické funkce
trigonometrické funkce
inverzní trigonometrické funkce
hyperbolické funkce
inverzní hyperbolické funkce

Definice: Funkce $F (x)$ se nazývá primitivní funkce k funkci $f (x)$ na otevřeném intervalu $\mathbf{I}$ , pokud na intervalu $\mathbf{I}$ platí

$\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}x} = f(x)$

Ke každé funkci $f (x)$ , která je na intervalu $\mathbf{I}$ spojitá, existuje na tomto intervalu primitivní funkce $F (x)$ . Je-li $F (x)$ primitivní funkcí k funkcí $f (x)$ a $C$ je libovolná konstanta, pak také funkce $F (x) + C$ je primitivní funkcí k funkci $f (x)$ .

Proces hledání primitivní funkce $F (x)$ k dané funkci $f (x)$ je označován jako integrace a značíme

$\int {f(x)}\,\mathrm{d}x = F(x) + c$ ,

přičemž levá strana se nazývá neurčitým integrálem.

Symbol $\int$ je označován jako integrační znak, funkce $f$ se nazývá integrandem a symbol $d x$ slouží pouze k označení proměnné, podle které integrujeme, tzn. derivace primitivní funkce $F (x)$ podle této proměnné dá integrand $f (x)$ . Proměnnou, podle které se integruje, v tomto případě $x$ , označujeme jako integrační proměnnou. Konstantu $C$ nazýváme integrační konstantou.

Platí tedy

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int f(x)\,\mathrm{d}x = f(x)$

Integrace je opačný proces k určování derivace. Při výpočtu se vychází ze znalosti derivací vybraných funkcí, na jejichž základě je vytvořen seznam známých integrálů (tzv. tabulkové integrály). Při hledání integrálů složitějších funkcí se využívá např. linearita, metoda per partes, substituční metoda, popř. některé speciální metody.

[editovat] Tabulkové integrály

$\int {0} \,\mathrm{d}x = c$

$\int {a} \,\mathrm{d}x = ax + c$

$\int {x^n} \,\mathrm{d}x = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + c \mbox{ pro } x>0, n \in \mathbb{R} \mbox{ a } n \ne -1$ . Pro přirozená

n

platí uvedený vztah pro všechna

x

$\int {\frac{1}{x}} \,\mathrm{d}x = \ln |x| + c \mbox{ pro } x\ne 0$

$\int {\mathrm{e}^x} \,\mathrm{d}x = \mathrm{e}^x + c$

$\int {a^x} \,\mathrm{d}x = \frac{a^x}{ln(a)} \ + c \mbox{ pro } a>0, a\ne 1$

$\int {\sin x} \,\mathrm{d}x = - \cos x + c$

$\int {\cos x} \,\mathrm{d}x = \sin x + c$

$\int {\frac{1}{\sin^2 x}} \,\mathrm{d}x = -\operatorname{cotg} \,x + c \mbox{ pro } x\ne n\pi$ , kde

n

je celé číslo.

$\int {\frac{1}{\cos^2 x}} \,\mathrm{d}x = \operatorname{tg} \,x + c \mbox{ pro } x\ne (2n+1)\frac{\pi}{2}$ , kde

n

je celé číslo.

$\int \frac{1}{1 + x^2} \mathrm{d}x = \operatorname{arctg}x + c_1 = - \operatorname{arccotg}x + c_2$

$\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \mathrm{d}x = \operatorname{arcsin}x + c_1 = - \operatorname{arccos}x + c_2 \mbox{ pro } -1<x<1$

$\int \frac{1}{1 - x^2} \mathrm{d}x = \left\{\begin{matrix} \frac{1}{2}\ln{|\frac{1+x}{1-x}|} + c, & \mbox{ pro } |x|\ne 1 \\ \operatorname{arctgh}x + c, & \mbox{ pro } |x|<1 \\ \operatorname{arccotgh}x + c & \mbox{ pro } |x|>1 \end{matrix}\right.$

$\int \sinh x \, \mathrm{d}x = \cosh x + c$

$\int \cosh x \, \mathrm{d}x = \sinh x + c$

$\int \frac{1}{\sinh^2 x} \mathrm{d}x = - \operatorname{cotgh}x + c \mbox{ pro } x\ne 0$

$\int \frac{1}{\cosh^2 x} \mathrm{d}x = \operatorname{tgh}x + c$

$\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}\mathrm{d}x = \ln (x + \sqrt{x^2 + 1}) + c = \operatorname{arcsinh}x + c$

$\int \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}\mathrm{d}x = \left\{\begin{matrix} \ln{|x + \sqrt{x^2 - 1}|} + c, & \mbox{ pro } |x|> 1 \\ \operatorname{arcosh}x + c, & \mbox{ pro } |x|<1 \end{matrix}\right.$

$\int [f(x) \pm g(x)] \, \mathrm{d}x = \int f(x)\,\mathrm{d}x \pm \int g(x)\,\mathrm{d}x$

$\int k\,f(x)\,\mathrm{d}x = k \int f(x)\,\mathrm{d}x$ pro libovolné reálné číslo k

[editovat] Integrace per partes (po částech)

Podrobnější informace naleznete v článku Per partes.

Integrace per partes je jedna ze základních metod používaných při integraci součinu funkcí.

[editovat] Substituční metoda

Podrobnější informace naleznete v článku Substituční metoda.

Substituční metoda využívá skutečnosti, že přechodem k jiným proměnným lze v mnoha případech získat integrál, který je snáze řešitelný, např. metodou per partes nebo přímo některým ze základních integrálů.

[editovat] Integrace racionálních funkcí

Jde o integrály tvaru $\int \frac{P(x)}{Q(x)}\,\mathrm{d}x$ , kde $P (x), Q (x)$ jsou polynomy. Racionální funkci $\frac{P(x)}{Q(x)}$ je vždy možné rozložit na součet polynomu a ryze racionální lomené funkce. Racionální lomenou funkci vyjádříme jako součet parciálních zlomků. Vzhledem k tomu, že integrace polynomu je triviální, zbývá řešit integraci lomené racionální funkce, která se však v nejobecnějším případě redukuje na řešení integrálu

$I_1 = \int \frac{A}{{(x-a)}^n}\,\mathrm{d}x$

pro přirozené číslo $n \ge 1$ a $x \ne a$ , a integrálu

$I_2 = \int \frac{M x + N}{{(x^2 + p x + q)}^n} \,\mathrm{d}x$

pro přirozené číslo $n \ge 1$ , přičemž diskriminant D výrazu $x 2 + p x + q$ je záporný.

Pro integrál $I 1$ dostaneme pro $n = 1$ aplikováním základních integračních vztahů výraz

$\int \frac{A}{x-a}\,\mathrm{d}x = A \ln{|x-a|} + C$

pro $x \ne a$ .

Pro $n \geq 2$ pak pro $I 1$ ze základních vztahů plyne

$\int \frac{A}{{(x-a)}^n}\,\mathrm{d}x = \frac{A}{1-n}\frac{1}{{(x-a)}^{n-1}} + C$

pro $x \ne a$ .

Integrál $I 2$ pro $M = 0, n = 1$ lze převést na integrál $\int \frac{\,\mathrm{d}x}{x^2+a^2}$ pomocí substituce

$x^2+px+q = {(x-\frac{p}{2})}^2-(\frac{p^2}{4}-q) = z^2+a^2$ ,

kde $z = x - \frac{p}{2}$ a $a^2 = -(\frac{p^2}{4}-q) = -D$ . Pomocí základních integračních vztahů pak dostaneme

$\int N\frac{\,\mathrm{d}x}{x^2+px+q} = N \int \frac{\,\mathrm{d}x}{{(x+\frac{p}{2})}^2 - (\frac{p^2}{4}-q)} =$

$=N \int \frac{\,\mathrm{d}z}{z^2+a^2} = \frac{N}{a} \operatorname{arctg}\frac{z}{a} + C = \frac{N}{\sqrt{-D}} \operatorname{arctg}\frac{x+\frac{p}{2}}{\sqrt{-D}} + C$

Integrál $I 2$ pro $M \ne 0$ a $n = 1$ upravíme tak, aby v čitateli byl (až na aditivní konstantu) násobek derivace jmenovatele, což umožňuje úpravu

$\int \frac{k f^\prime(x)+A}{f(x)}\,\mathrm{d}x = k \int \frac{f^\prime(x)}{f(x)}\,\mathrm{d}x + \int A f(x)\,\mathrm{d}x$

Řešení prvního integrálu lze najít podle základních integračních vztahů a druhý integrál je integrál typu $I 2$ pro $M = 0, n = 1$ . Využijeme-li toho, že ${(x^2+px+q)}^\prime=2x+p$ a současně

$Mx+N = \frac{M}{2}\left(2x+\frac{2N}{M}\right) = \frac{M}{2}\left[(2x+p)+(\frac{2N}{M}-p)\right],$

pak dostáváme řešení

$\int \frac{Mx+N}{x^2+px+q}\,\mathrm{d}x = \frac{M}{2} \int \frac{2x+p}{x^2+px+q}\,\mathrm{d}x + \frac{M}{2}(\frac{2N}{M}-p) \int \frac{\,\mathrm{d}x}{x^2 + px+q} =$

$= \frac{M}{2} \ln{|x^2+px+q|} + A I$

kde $I$ je integrál typu $I 2$ pro $M = 0, n = 1$ .

Integrál $I 2$ pro $M = 0, n > 1$ lze pomocí substituce $x-\frac{p}{2}=z, \,\mathrm{d}z=\,\mathrm{d}x$ a $-(\frac{p^2}{4}-q)=a^2$ upravit na tvar

$K_n = \int \frac{N \,\mathrm{d}x}{{(x^2+px+q)}^n} = \int \frac{N \,\mathrm{d}x}{{[{(x-\frac{p}{2})}^2 - (\frac{p^2}{4}-q)]}^n} = N \int \frac{\,\mathrm{d}z}{{(z^2+a^2)}^n}$

Řešíme-li poslední integrál metodou per partes, dostaneme rekurentní vztah

$K_{n+1} = \frac{z}{2na^2 {(z^2+a^2)}^n} + \frac{2n-1}{2na^2} K_n$

pro $n \geq 1$ . Řešení integrálu $K n$ lze pak vyjádřit prostřednictvím integrálu $K 1$ , což je však integrál typu $I 2$ pro $M = 0, n = 1$ .

U integrálů $I 2$ , u nichž je $M \neq 0, n>1$ použijeme $f (x) = x 2 + p x + q$ . Čitatele lze pak vyjádřit ve tvaru $k f^\prime(x)+A$ . Řešení má pak tvar

$\int \frac{Mx+N}{{(x^2+px+q)}^n}\,\mathrm{d}x = \int \frac{k f^\prime(x)+A}{{[f(x)]}^n}\,\mathrm{d}x = k \int \frac{f^\prime(x)}{{[f(x)]}^n}\,\mathrm{d}x + A \int \frac{\,\mathrm{d}x}{{[f(x)]}^n} =$

$=\frac{M}{2(1-n)}\frac{1}{{(x^2+px+q)}^{n-1}} + K_n$ ,

kde $K n$ je integrál vyjádřený pomocí dříve uvedeného rekurentního vztahu.

Při integraci racionální funkci tedy nejdříve vyjádříme tuto funkci jako součet polynomu, který lze ihned integrovat, a racionální lomené funkce, kterou rozložíme na parciální zlomky. Poté integrujeme parciální zlomky, čímž získáme celé řešení integrálu původní racionální funkce.

[editovat] Integrace metodou derivování podle parametru

Integraci metodou derivování podle parametru lze využít tehdy, pokud integrujeme funkci $f (x)$ , v níž vystupuje nějaký parametr $a$ , např. $y = a x$ . V takovém případě můžeme tento parametr formálně považovat za proměnnou. O funkci f pak můžeme uvažovat jako o funkci dvou proměnných, tzn. $f (x, a)$ . Integrací funkce f přes množinu M dostaneme funkci parametru a $F$ , tedy

$\int_{M} f(x,a) \,\mathrm{d}x = F(a)$

Pokud jsou funkce f(x,a) a $\frac{\part f}{\part a}(x,a)$ spojité v daném oboru proměnných x a a (po řadě značme M, N) a zároveň existuje integrovatelná majoranta g(x) taková, že

$\int_M{g(x)\,\mathrm{d}x}<+\infty,$

$\left|\frac{\part f}{\part a}(x,a)\right|<g(x)$ na $M\times N$ , pak pro všechna a z N platí

$\int_{M} \frac{\part f}{\part a}(x,a)\,\mathrm{d}x = \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} a}\int_{M} f(x,a)\,\mathrm{d}x = \frac{\mathrm{d} F(a)}{\mathrm{d} a}$

Výše uvedený postup se také nazývá záměna derivace a integrálu.

Tento postup lze uplatnit při výpočtu neurčitých integrálů (za splnění příslušných podmínek) při volbě M = (0, x). Potom je

$\int f(x,a) \,\mathrm{d}x=\int_{0}^x f(x,a) \,\mathrm{d}x+C = F(x,a)+C$

a záměnou derivace a integrálu

$\int \frac{\part f}{\part a}(x,a)\,\mathrm{d}x = \frac{\part F(x,a)}{\part a}+C.$

[editovat] Racionalizace integrálů

Některé funkce je možné převést na integrály s racionálními integrandy. Říkáme pak, že integrál byl zracionalizován.

Při racionalizaci obvykle vyjádříme integrand jako racionální funkci dvou proměnných $R (x, y)$ , přičemž za proměnnou y dosadíme nějakou funkci proměnné x, tzn. $y = φ(x)$ . Racionalizaci pak provedeme vhodně zvolenou substitucí.

Racionalizaci lze provést pouze pro některé typy integrandů.

Např. integrál typu

$\int R \left( x,{\sqrt[s]{\frac{ax+b}{cx+d}}} \right) \mathrm{d}x$ ,

kde s je přirozené číslo a determinant $\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} \ne 0$ . Tento integrál lze zracionalizovat substitucí

$\sqrt[s]{\frac{ax+b}{cx+d}} = t$

Zvláštním případem integrandu z předchozího případu je $R \left( x,{\sqrt[s]{{ax+b}}} \right)$ , který opět řešíme uvedenou substitucí s $c = 0, d = 1$ .

Integrál typu

$\int R \left( x,\sqrt{ax^2+bx+c} \right) \mathrm{d}x$

lze pro $a > 0$ zracionalizovat substitucí

$ax^2+bx+c=\sqrt{a}x+t$

nebo

$ax^2+bx+c=\sqrt{a}x-t$

Pro $c > 0$ lze uvedený integrál zracionalizovat substitucí

$ax^2+bx+c=tx+\sqrt{c}$

nebo

$ax^2+bx+c=tx-\sqrt{c}$

Pro $a < 0$ a pro reálné kořeny $α,β$ rovnice $a x 2 + b x + c = 0$ lze pro racionalizaci použít substitucí

$t=\sqrt{a \frac{x-\alpha}{x-\beta}}$

Tyto substituce bývají také označovány jako Eulerovy substituce.

K racionalizaci lze také využít goniometrických funkcí. Např. integrály typu

$\int R \left( x,\sqrt{a^2-x^2} \right) \mathrm{d}x$

lze řešit substitucí

x = a cos t

nebo

x = a sin t

Podobně lze integrály typu

$\int R \left( x,\sqrt{a^2+x^2} \right) \mathrm{d}x$

řešit substitucí

$x = a\,\operatorname{tg}\,t$

a integrály typu

$\int R \left( x,\sqrt{x^2-a^2} \right) \mathrm{d}x$

řešit substitucí

$x = \frac{a}{\cos t}$

Pro integrály integrály typu

$\int R(\sin x,\cos x)\mathrm{d}x$

lze v obecném případě (pro intervaly neobsahující body $x = (2 k + 1)π$ pro celá k) použít substituci

$\operatorname{tg}\,\frac{x}{2} = z$

Výrazy získané použitím substituce této bývají však obvykle složité, proto se obvykle snažíme použít některou z následujících substitucí.

Je-li funkce R lichá v proměnné $u = sin x$ , pak je výhodnější použít substituci

$\displaystyle\cos x=z$

Pokud je funkce R lichá v proměnné $v = cos x$ , pak můžeme použít substituci

$\displaystyle\sin x=z$

Pokud je funkce R sudá v obou svých proměnných, tzn. $\displaystyle u=\sin x$ i $\displaystyle v=\cos x$ , pak lze použít substituci

$\operatorname{tg}\,x=z$

[editovat] Integrace transcendentních funkcí

K některým transcendentním funkcím je možné nalézt primitivní funkce.

Např. pokud je $\displaystyle R(y)$ racionální funkce proměnné $\displaystyle y$ , pak integrál typu $\int R(\mathrm{e}^x)\,\mathrm{d}x$ lze řešit substitucí $\displaystyle t=\mathrm{e}^x$ .

Podobně lze integrál typu $\int R(a^x)\,\mathrm{d}x$ můžeme řešit substitucí $\displaystyle t=a^x$ .

Integrací racionální funkce nemusíme získat racionální funkci, ale může jít o funkci transcendentní. Také při integraci některých nižších transcendentních funkcí můžeme získat vyšší transcendentní funkce. Příkladem takových funkcí jsou $\mathrm{e}^{x^2}, \mathrm{e}^{-x^2}, \frac{\sin x}{x}, \frac{\cos x}{x}$ apod. K těmto funkcím sice existuje primitivní funkce, nelze ji však vyjádřit elementárními funkcemi v konečném tvaru.

Mezi takovéto často používané transcendentní funkce patří např.

Integrálsinus (integrální sinus) $\operatorname{Si}\,x = \int_0^x \frac{\sin t}{t}\,\mathrm{d}t$
Integrálkosinus (integrální kosinus) $\operatorname{Ci}\,x = - \int_x^\infty \frac{\cos t}{t}\,\mathrm{d}t$
Logaritmusintegrál (integrální logaritmus) $\operatorname{li}\,x = \int_0^x \frac{1}{\ln t}\,\mathrm{d}t$
$\operatorname{Ei}\,x = \int_{-\infty}^x \frac{\mathrm{e}^t}{t}\,\mathrm{d}t$
gama funkce $\Gamma (x) = \int_0^\infty t^{x-1} \mathrm{e}^{-t} \mathrm{d}t$ .

[editovat] Určitý integrál

Určitý integrál vztahujeme (na rozdíl od integrálu neurčitého) k intervalu, přičemž rozsah intervalu ovlivňuje hodnotu integrálu. Výsledkem určitého integrálu je obvykle nějaké číslo.

Existuje řada definic integrálu, které pro rozumně se chovající funkce vedou ke stejným výsledkům.

Z definice neurčitého integrálu vychází tzv. Newtonův integrál.

Riemann použil v roce 1854 závěry Cauchyho a definoval tzv. Riemannův integrál jako limitu nekonečného součtu. Šlo o první definici integrálu odpovídající dnešním měřítkům.

Na základě Lebesgueovy míry vytvořil Lebesgue tzv. Lebesgueův integrál. Podobný postup použili i další matematici. Lebesgueův integrál a další, ještě pokročilejší integrály, umožňují integrovat širší třídy funkcí, platí pro ně silnější verze mnoha tvrzení a skýtají i mnoho jiných výhod. Patří mezi ně například Stieltjesův integrál nebo Kurzweilův integrál.

Určitý integrál značíme podobně jako integrál neurčitý, navíc však vyznačujeme interval, na kterém integrujeme. Např. integrál funkce $\displaystyle f(x)$ na intervalu $I = \langle a,b\rangle$ značíme

$\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$

nebo

$\int_I f(x)\,\mathrm{d}x$

Při integraci určitých integrálů často používáme metody, které se užívají při při integraci neurčitých integrálů, např. substituční metodu nebo metodu per partes.

[editovat] Záměna sumy a integrálu

Je-li dána řada funkcí $\displaystyle f_n(x)$ spojitých na intervalu $\langle a,b\rangle$ a pokud suma $\sum_{n=n_0}^\infty f_n(x)$ konverguje stejnoměrně, pak lze zaměnit sumu s integrálem:

$\sum_{n=n_0}^\infty{\int_a^b{f_n(x)\,\mathrm{d}x}} = \int_a^b{\sum_{n=n_0}^\infty{f_n(x)}\,\mathrm{d}x}$

[editovat] Záměna limity a integrálu

Je-li $\displaystyle f(a,x)$ funkce spojitá na příslušných definičních oborech $\displaystyle a, x$ a pokud má integrovatelnou majorantu $\displaystyle g(x)$ takovou, že $\displaystyle |f(a,x)|< g(x)$ pro dané hodnoty parametru, a že $\int_M g(x)\,\mathrm{d}x<+\infty$ , pak lze zaměnit limitu s integrálem:

$\lim_{a\to a_0}\int_M{f(a,x)\,\mathrm{d}x}=\int_M{\lim_{a\to a_0}f(a,x)\,\mathrm{d}x}$

[editovat] Záměna derivace a integrálu

Viz Integrace metodou derivování podle parametru.

[editovat] Aplikace

Podrobnější informace naleznete v článku Aplikace integrálu.

Možnosti použití určitého integrálu jsou velmi rozsáhlé.

Pomocí určitého integrálu lze určit např. obsah rovinného obrazce, délku oblouku rovinné křivky, obsah rotační plochy nebo objem rotačního tělesa.

Ve fyzice pak určitý integrál můžeme použít při výpočtu např. statických momentů, momentů setrvačnosti, těžiště tělesa nebo hmotnosti.

[editovat] Komplexní integrál

Podrobnější informace naleznete v článku Integrál komplexní funkce.

V komplexních číslech se zpravidla užívají křivkové integrály. Pokud tyto integrály probíhají po uzavřené křivce v komplexní rovině, lze je zpravidla snadno spočíst pomocí reziduové věty, Cauchyova vzorce nebo Cauchyovy věty.

[editovat] Vícerozměrný integrál

Podrobnější informace naleznete v článku Vícerozměrný integrál.

Integraci pro funkce více proměnných lze zavést podobně jako pro funkce jedné proměnné. Integrace probíhá vždy na určité oblasti $\displaystyle\Omega$ . Je-li $\displaystyle f(x_1,x_2,...,x_n)$ funkcí $\displaystyle n$ proměnných, pak její integrál na určité n-rozměrné oblasti $\displaystyle\Omega$ označujeme jako vícerozměrný ( $n$ -rozměrný, např. dvourozměrný, trojrozměrný apod.) integrál, přičemž jej zapíšeme některým z následujících způsobů

${\iint\cdots\int}_{\!\!\!\Omega} f(x_1,x_2,\ldots,x_n)\,\mathrm{d}\Omega = {\iint\cdots\int}_{\!\!\!\Omega} f(x_1,x_2,\ldots,x_n)\,\mathrm{d}x_1 \mathrm{d}x_2 \cdots \mathrm{d}x_n = {\iint \cdots \int}_{\!\!\!\Omega} f(x_1,x_2,\ldots,x_n)\,\mathrm{d}^n x$

Počet integračních znaků $\int$ odpovídá počtu proměnných, přes které integrujeme. Je-li ze zápisu integrálu zjevné, že se jedná o vícerozměrný integrál, pak zapisujeme pouze jeden integrační znak, např.

$\int_\Omega f(x_1,x_2,\ldots,x_n)\,\mathrm{d}\Omega \,$

Vícerozměrné integrály se obvykle řeší převodem na vícenásobnou integraci pomocí Fubiniovy věty.

[editovat] Související články

Projekt Wikiknihy nabízí dokument na téma:

Integrování

[editovat] Literatura

Rektorys, K. a spol.: Přehled užité matematiky I.. Prometheus, Praha, 2003, 7. vydání. ISBN 80-7196-179-5

[editovat] Externí odkazy

Online výpočet integrálu
MAW - matematické výpočty online umožňuje online výpočet integrálů, včetně krokování postupu a automatického návrhu, jakou metodu pro výpočet použít.

Kategorie: Integrální počet

Tento článek je převzat z české wikipedie - otevřené encyklopedie, originální článek naleznete na adrese: „http://cs.wikipedia.org/wiki/Integr%C3%A1l“
Stránka byla naposledy upravena v Stránka byla naposledy editována 2. 11. 2008 v 18:49.
Veškerý text je dostupný za podmínek GNU Free Documentation License (Autorské právo pro podrobnosti).