Válcová soustava souřadnic

Válcová soustava souřadnic (cylindrická soustava souřadnic) je soustava souřadnic v prostoru, u které jedna souřadnice (označovaná $r$ ) udává vzdálenost bodu od osy z, druhá souřadnice (označovaná $\varphi$ ) udává úhel průmětu průvodiče bodu do roviny $x y$ od zvolené osy ležící v rovině (nejčastěji $x$ ) a třetí souřadnice (označovaná $z$ ) polohu bodu na ose z.

Bod ve válcové soustavě souřadnic.

Válcová soustava souřadnic je vhodná pro řešení problémů s válcovou symetrií. Takové mají zpravidla ve válcových souřadnicích podstatně jednodušší tvar.

Transformace válcových souřadnic na kartézské:

$x = r \cos{\varphi},$

$y = r \sin{\varphi},$

$z = z.\,$

Převod kartézských souřadnic na válcové:

$r = \sqrt{x^2 + y^2}$

$\varphi = \operatorname{arctg2}\left(y,x\right)$

$z = z\,,$

kde arctg2(x,y) je zobecnění funkce arkus tangens.

[editovat] Metrické vlastnosti

Délka infinitesimální úsečky se spočte jako

$\mathrm{d}s^2=\mathrm{d}r^2+r^2\mathrm{d}\varphi^2 + \mathrm{d}z^2,$

tedy délka křivky obecně jako

$\int_{t_1}^{t_2}{\sqrt{\left(\frac{\mathrm{d}r(t)}{\mathrm{d}t}\right)^2 +r^2\left(\frac{\mathrm{d}\varphi(t)}{\mathrm{d}t}\right)^2 +\left(\frac{\mathrm{d}z(t)}{\mathrm{d}t}\right)^2}}\mathrm{d}t,$

kde t je parametr dané křivky a s je její délka od $t 1$ do $t 2$ .

Objem infinitesimálního elementu prostoru spočteme jako

$\mathrm{d}V=r\, \mathrm{d}r\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}z,$

takže celkový objem spočteme integrací tohoto výrazu přes danou oblast vyjádřenou ve sférických souřadnicích.

Afinní konexe jsou dány vztahy

${\Gamma^r}_{ij}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & -r & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix},$

${\Gamma^\varphi}_{ij}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{r} & 0 \\ \frac{1}{r} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix},$

${\Gamma^z}_{ij}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix},$

kde indexy i,j probíhají přes hodnoty $(r,\varphi,z)$ v tomto pořadí.

[editovat] Diferenciální operátory ve válcových souřadnicích

$\nabla f = {\partial f \over \partial r }\boldsymbol{\hat r } + {1 \over r }{\partial f \over \partial \varphi}\boldsymbol{\hat \varphi} + {\partial f \over \partial z}\boldsymbol{\hat z}$

$\nabla \cdot \mathbf{A} = {1 \over r }{\partial \left( r A_r \right) \over \partial r } + {1 \over r }{\partial A_\varphi \over \partial \varphi} + {\partial A_z \over \partial z}$

$\nabla \times \mathbf{A} = \left({1 \over r }{\partial A_z \over \partial \varphi} - {\partial A_\varphi \over \partial z}\right) \boldsymbol{\hat r } + \left({\partial A_r \over \partial z} - {\partial A_z \over \partial r }\right) \boldsymbol{\hat \varphi} + {1 \over r }\left({\partial \left( r A_\varphi \right) \over \partial r } - {\partial A_r \over \partial \varphi}\right) \boldsymbol{\hat z}$

$\Delta f = \nabla^2 f = {1 \over r }{\partial \over \partial r }\left( r {\partial f \over \partial r }\right) + {1 \over r ^2}{\partial^2 f \over \partial \varphi^2} + {\partial^2 f \over \partial z^2}$

$\Delta \mathbf{A} = \left(\Delta A_r - {A_r \over r ^2} - {2 \over r ^2}{\partial A_\varphi \over \partial \varphi}\right) \boldsymbol{\hat r } + \left(\Delta A_\varphi - {A_\varphi \over r ^2} + {2 \over r ^2}{\partial A_r \over \partial \varphi}\right) \boldsymbol{\hat\varphi} + \left(\Delta A_z \right) \boldsymbol{\hat z}$

Soustavy souřadnic
	Kartézská soustava souřadnic	Ortogonální souřadnice	Afinní soustava souřadnic	Obecné souřadnice
2-D	Polární soustava souřadnic	Bi-polární soustava souřadnic	Úhlová soustava souřadnic
3-D	Válcová soustava souřadnic	Sférická soustava souřadnic
n-D	Hypersférická soustava souřadnic

Kategorie: Soustavy souřadnic

Válcová soustava souřadnic v jiných jazycích: Afrikaans, Català, Dansk, English, Español, فارسی, Suomi, Français, עברית, 日本語, 한국어, Nederlands, Polski, Português, Română, Русский, Slovenščina, Српски / Srpski, Svenska, 中文

Tento článek je převzat z české wikipedie - otevřené encyklopedie, originální článek naleznete na adrese: „http://cs.wikipedia.org/wiki/V%C3%A1lcov%C3%A1_soustava_sou%C5%99adnic“
Stránka byla naposledy upravena v Stránka byla naposledy editována 30. 10. 2008 v 15:32.
Veškerý text je dostupný za podmínek GNU Free Documentation License (Autorské právo pro podrobnosti).