Vícerozměrný integrál

Integraci pro funkce více proměnných lze zavést podobně jako pro funkce jedné proměnné. Integrace probíhá vždy na určité oblasti $Ω$ . Je-li $f (x 1, x 2,..., x n)$ funkcí $n$ proměnných, pak její integrál na určité n-rozměrné oblasti $Ω$ označujeme jako vícerozměrný ( $n$ -rozměrný, např. dvourozměrný, trojrozměrný apod.) integrál, přičemž jej zapíšeme některým z následujících způsobů

${\iint\cdots\int}_{\Omega} f(x_1,x_2,...,x_n) \mathrm{d}\Omega = {\iint\cdots\int}_{\Omega} f(x_1,x_2,...,x_n) \mathrm{d}x_1 \mathrm{d}x_2 \cdots \mathrm{d}x_n = {\iint\cdots\int}_{\Omega} f(x_1,x_2,...,x_n) \mathrm{d}^n x$

Počet integračních znaků $\int$ odpovídá počtu proměnných, přes které integrujeme. Je-li ze zápisu integrálu zjevné, že se jedná o vícerozměrný integrál, pak zapisujeme pouze jeden integrační znak, např.

$\int_\Omega f(x_1,x_2,...,x_n) \mathrm{d}\Omega \,$

Vícerozměrné integrály se obvykle řeší převodem na vícenásobnou integraci pomocí Fubiniovy věty a substituční metody.

Obsah

1 Dvojný integrál
- 1.1 Vlastnosti dvojného integrálu
- 1.2 Trojný integrál
2 Související články

[editovat] Dvojný integrál

Dvojný (dvojrozměrný) integrál je vícerozměrný integrál funkce dvou proměnných na dvourozměrné oblasti.

Mějme na oblasti $Ω$ , pro kterou platí $a \leq x \leq b$ a $c \leq y \leq d$ , definovanou spojitou funkci $f (x, y)$ .

Oblast $Ω$ rozdělíme tak, že interval $\langle a,b\rangle$ rozdělíme na podintervaly $Δ x 1,Δ x 2,...,Δ x m$ a interval $\langle c,d\rangle$ rozdělíme na podintervaly $Δ y 1,Δ y 2,...,Δ y n$ . Takto zvolené dělení označíme jako $d$ a sestrojíme k němu horní a dolní integrální součet

S(d) =	∑	K_ijΔx_iΔy_j
	i,j

s(d) =	∑	k_ijΔx_iΔy_j
	i,j

kde $K i j$ je maximální hodnota funkce $f (x, y)$ na oblasti, v níž $x \in \Delta x_i$ a $y \in \Delta y_j$ , a $k i j$ je minimální hodnota funkce $f (x, y)$ na této oblasti.

Při jiné volbě dělení získáme jiné hodnoty horního a dolního integrálního součtu. Infimum horního integrálního součtu označíme jako horní dvojný integrál

$\inf_d S(d) = \overline{\iint}_\Omega f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$

Supremum dolního integrálního součtu označíme jako dolní dvojný integrál

$\sup_d s(d) = \underline{\iint}_\Omega f(x,y) \mathrm{d}x\mathrm{d}y$

Pokud jsou si horní a dolní integrál rovny, označujeme jejich společnou hodnotu jako dvojný (popř. dvojrozměrný) integrál a zapisujeme

$\iint_\Omega f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$

Uvedený způsob zavedení dvojného integrálu vychází z Riemannovy definice, proto také hovoříme o dvojném Riemannově integrálu. O funkci $f (x, y)$ , kterou lze integrovat na základě této definice, tzn. pro niž existuje uvedený integrál, říkáme, že je integrovatelná v Riemannově smyslu. Každá spojitá funkce je na $Ω$ integrovatelná.

Oblast $Ω$ byla definována jako oblast čtvercového tvaru. Takovouto oblast je jednoduché dělit. Podobný postup lze ovšem použít pro oblast libovolného tvaru. Takovou oblast $Ω$ můžeme celou vnořit do čtvercové oblasti $\Omega^\prime$ , kterou rozdělíme uvedeným způsobem. Na oblasti $\Omega^\prime$ přitom definujeme funkci $g$ , která je pro všechny body uvnitř oblasti $Ω$ definována vztahem $g = f$ , a pro všechny body mimo oblast $Ω$ je $g = 0$ . Potom platí

$\iint_\Omega f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \iint_{\Omega^\prime} g(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$

Pomocí Fubiniovy věty lze převést dvojný integrál na integrál dvojnásobný.

[editovat] Vlastnosti dvojného integrálu

Pokud je funkce $f (x, y)$ integrovatelná na oblastech $Ω 1,Ω 2$ , přičemž $\Omega_1 \cap \Omega_2 = \emptyset$ , pak na $\Omega = \Omega_1 \cup \Omega_2$ platí

$\iint_\Omega f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \iint_{\Omega_1} f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y + \iint_{\Omega_2} f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$

Máme-li na oblasti $Ω$ definovány integrovatelné funkce $f 1 (x, y), f 2 (x, y)$ , pak jsou na této oblasti integrovatelné také funkce $c 1 f 1 + c 2 f 2$ ( $c 1, c 2$ jsou konstanty), $f 1 f 2$ , $| f 1 |$ a $| f 2 |$ . Přitom platí

$\iint_\Omega [c_1 f_1(x,y)+c_2 f_2(x,y)]\mathrm{d}x\mathrm{d}y = c_1 \iint_\Omega f_1(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y + c_2 \iint_\Omega f_2(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$

$\left|\iint_\Omega f_i(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\right| \leq \iint_\Omega \left|f_i(x,y)\right| \mathrm{d}x\mathrm{d}y$

$\iint_\Omega f_1(x,y)f_2(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y \neq \iint_\Omega f_1(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y \; \iint_\Omega f_2(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$

Funkce $\frac{f_1(x,y)}{f_2(x,y)}$ je integrovatelná, pokud jsou integrovatelné funkce $f 1$ a $f 2$ a platí $0>k\geq f_2$ nebo $f_2 \leq K<0$ .

Pokud je $k \leq f_1 \leq K$ a $f_2 \geq 0$ , pak

$k \iint_\Omega f_2(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y \leq \iint_\Omega f_1(x,y)f_2(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y \leq K \iint_\Omega f_2(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$

Pokud v celé oblasti $Ω$ platí $f_1 \leq f_2$ , pak platí také

$\iint_\Omega f_1(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y \leq \iint_\Omega f_2(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$

Pokud na uzavřené oblasti $Ω$ existuje spojitá funkce f(x,y), pak existuje alespoň jeden bod $[x_0,y_0] \in \Omega$ vyhovující vztahu

$\iint_\Omega f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y = P f(x_0,y_0)$ ,

kde $P$ je obsah oblasti $Ω$ . Uvedené tvrzení bývá označováno jako věta o střední hodnotě.

[editovat] Trojný integrál

Podobným způsobem jako dvojný integrál lze definovat také další vícerozměrný integrál, tzv. trojný (trojrozměrný) integrál.

Postupujeme tedy tak, že pro dané dělení trojrozměrné oblasti $Ω$ definujeme pro funkci $f (x, y, z)$ horní integrální součet $S (d)$ a dolní integrální součet $s (d)$ . Infimum horních integrálních součtů označíme jako horní trojný integrál

$\inf_d S(d) = \overline{\iiint}_\Omega f(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z$

Supremum dolních integrálních součtů označíme jako dolní trojný integrál

$\sup_d s(d) = \underline{\iiint}_\Omega f(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z$

Pokud jsou si horní a dolní trojný integrál rovny, pak tuto společnou hodnotu označíme jako trojný (trojrozměrný) integrál a zapíšeme

$\iiint_\Omega f(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z$

Uvedený způsob zavedení trojného integrálu vychází z Riemannovy definice, proto také hovoříme o trojném Riemannově integrálu. O funkci $f (x, y, z)$ , kterou lze integrovat na základě této definice říkáme, že je integrovatelná v Riemannově smyslu. Každá spojitá funkce $f (x, y, z)$ je na $Ω$ integrovatelná.

Podobně jako v případě dvojrozměrného integrálu lze i v prápadě trojrozměrného integrálu provést zobecnění na oblast libovolného tvaru.

Výpočet trojného integrálu lze provést aplikací Fubiniovy věty, čímž převedeme trojný integrál na integrál trojnásobný.

[editovat] Související články

Kategorie: Integrální počet

Vícerozměrný integrál v jiných jazycích: Bosanski, Català, Deutsch, English, Español, فارسی, Français, עברית, Italiano, 한국어, Nederlands, Polski, Português, Română, Русский, Svenska, Українська, 中文

Tento článek je převzat z české wikipedie - otevřené encyklopedie, originální článek naleznete na adrese: „http://cs.wikipedia.org/wiki/V%C3%ADcerozm%C4%9Brn%C3%BD_integr%C3%A1l“
Stránka byla naposledy upravena v Stránka byla naposledy editována 18. 11. 2008 v 22:59.
Veškerý text je dostupný za podmínek GNU Free Documentation License (Autorské právo pro podrobnosti).