Věta o střední hodnotě integrálního počtu

Obsah

1 První věta
- 1.1 Dvojný integrál
2 Druhá věta
3 Související články

[editovat] První věta

První věta o střední hodnotě integrálního počtu tvrdí, že máme-li na intervalu $\langle a,b\rangle$ spojitou funkci $f (x)$ , pak existuje takový bod $c \in (a,b)$ , že platí

$\int_a^b f(x)\mathrm{d}x = (b-a)f(c)$

Hodnotu $f (c)$ pak označujeme jako střední hodnotu funkce $f (x)$ na intervalu $\langle a,b\rangle$ .

[editovat] Dvojný integrál

Uvedenou větu lze zobecnit pro dvojný integrál. Pokud na uzavřené oblasti $\mathbf{\Omega}$ existuje spojitá funkce $f (x, y)$ , pak existuje alespoň jeden bod $[x_0,y_0] \in \mathbf{\Omega}$ vyhovující vztahu

${\int\int}_\mathbf{\Omega} f(x,y) \mathrm{d}x\mathrm{d}y = P f(x_0,y_0)$ ,

kde $P$ je obsah oblasti $\mathbf{\Omega}$ .

[editovat] Druhá věta

Máme-li na intervalu $\langle a,b\rangle$ definovány dvě funkce $f (x), g (x)$ , přičemž funkce $f (x)$ je integrovatelná na $\langle a,b\rangle$ a $g (x)$ je na tomto intervalu monotónní, pak druhá věta o střední hodnotě integrálního počtu říká, že existuje alespoň jeden bod $c \in \langle a,b\rangle$ takový, že platí

$\int_a^b f(x)g(x)\mathrm{d}x = g(a)\int_a^c f(x)\mathrm{d}x + g(b)\int_c^b f(x)\mathrm{d}x$

[editovat] Související články

Kategorie: Integrální počet | Matematické věty a důkazy

Tento článek je převzat z české wikipedie - otevřené encyklopedie, originální článek naleznete na adrese: „http://cs.wikipedia.org/wiki/V%C4%9Bta_o_st%C5%99edn%C3%AD_hodnot%C4%9B_integr%C3%A1ln%C3%ADho_po%C4%8Dtu“
Stránka byla naposledy upravena v Stránka byla naposledy editována 8. 6. 2008 v 13:56.
Veškerý text je dostupný za podmínek GNU Free Documentation License (Autorské právo pro podrobnosti).