Vzájemná poloha rovin

Dvě různé roviny $ρ,σ$ v trojrozměrném prostoru, které mají společnou přímku $p$ , nazýváme různoběžnými a značíme $\rho\nparallel\sigma$ . Přímka $p$ představuje průsečnici obou rovin $ρ$ a $σ$ .

Dvě různé roviny $ρ$ a $σ$ , které nemají v prostoru žádný společný bod, označujeme jako rovnoběžné a značíme $\rho\|\sigma$ . Pokud jsou si roviny $σ$ a $σ$ rovny, pak je označíme jako splývající (totožné).

Jestliže jedna rovina obsahuje přímku kolmou k druhé rovině, pak jsou obě roviny kolmé.

[editovat] Algebraické vyjádření

Mějme dvě roviny zadané obecnými rovnicemi $a i x + b i y + c i z + d i = 0$ pro $i = 1,2$ . Pro odchylku $\varphi$ těchto rovin platí

$\cos\varphi = \left| \frac{a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2}{\sqrt{ \left(a_1^2 + b_1^2 + c_1^2 \right) \left( a_2^2 + b_2^2 + c_2^2 \right)}} \right|$

Dvě roviny jsou rovnoběžné tehdy, když $a 2 = λ a 1, b 2 = λ b 1, c 2 = λ c 1$ pro libovolné $λ$ , což se obvykle zapisuje jako

a 1 : b 1 : c 1 = a 2 : b 2 : c 2

Roviny jsou kolmé, je-li splněna podmínka

a 1 a 2 + b 1 b 2 + c 1 c 2 = 0

[editovat] Vzájemná poloha tří rovin

Průsečíkem tří (nerovnoběžných) rovin s rovnicemi $a i x + b i y + c i z + d i = 0$ pro $i = 1,2,3$ je bod o souřadnicích

$[x_P,y_P,z_P] = \left[ -\frac{\Delta_x}{\Delta},-\frac{\Delta_y}{\Delta},-\frac{\Delta_z}{\Delta}\right]$ ,

kde

$\Delta = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}$

$\Delta_x = \begin{vmatrix} d_1 & b_1 & c_1 \\ d_2 & b_2 & c_2 \\ d_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}$

$\Delta_y = \begin{vmatrix} a_1 & d_1 & c_1 \\ a_2 & d_2 & c_2 \\ a_3 & d_3 & c_3 \end{vmatrix}$

$\Delta_z = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & d_1 \\ a_2 & b_2 & d_2 \\ a_3 & b_3 & d_3 \end{vmatrix}$

Musí přitom platit $\Delta\neq 0$ .

[editovat] Vzájemná poloha čtyř rovin

Čtyři roviny prochází právě jedním bodem právě tehdy, pokud platí

$\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 & d_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & d_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 & d_3 \\ a_4 & b_4 & c_4 & d_4 \end{vmatrix} = 0$

[editovat] Související články

Kategorie: Geometrie

Vzájemná poloha rovin v jiných jazycích: English, ភាសាខ្មែរ

Tento článek je převzat z české wikipedie - otevřené encyklopedie, originální článek naleznete na adrese: „http://cs.wikipedia.org/wiki/Vz%C3%A1jemn%C3%A1_poloha_rovin“
Stránka byla naposledy upravena v Stránka byla naposledy editována 2. 10. 2008 v 03:21.
Veškerý text je dostupný za podmínek GNU Free Documentation License (Autorské právo pro podrobnosti).