Vzdálenost bodu od přímky

Tento článek z oblasti matematiky potřebuje úpravy. Můžete Wikipedii pomoci tím, že ho vhodně vylepšíte. Inspiraci k vylepšení lze hledat v radách na stránce Vzhled a styl, případně na diskusní stránce článku.

[editovat] V rovině (v π ₂)

Vzdálenost bodu A[x_a, y_a] od přímky p v rovině najdeme tak, že nejprve odhalíme souřadnice kolmého průmětu X bodu A na přímku p. Bod X je průsečíkem přímky p a přímky q, která prochází bodem A a je kolmá na p. Proto nejdřív musíme najít přímku q, pro ni musí platit, že její směrový vektor je normálový vektor přímky p:
Rovnici přímky p upravíme na obecný tvar:

a x + b y + c = 0

Z této rovnice získáme normálový vektor přímky p:

$\mathbf{n} = (a;b)$

Tento normálový vektor je směrovým vektorem přímky q, proto normálový vektor přímky q je:

$\mathbf{u} = (-b;a)$

Takže obecná rovnice přímky q má následující tvar:

- b x + a y + d = 0

Proměnnou d získáme dosazením souřadnic bodu A do rovnice:

d = b x a - a y a

Nyní už jen dořešíme soustavu dvou lineárních rovnic, ze které získáme souřadnice bodu X a tyto souřadnice dosadíme spolu se souřadnicemi bodu A do vzorečku pro vzdálenost dvou bodů v rovině:

$\left| AX \right| = \sqrt{\left( x_a - x_x \right)^2 + \left( y_a - y_x \right)^2}$

Tímto postupem lze získat obecný vzoreček pro vzdálenost bodu od přímky v rovině: $v = \frac{\left|ax_a + by_a + c\right|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

[editovat] V prostoru (v π ₃)

Postup v prostoru je analogický s tím v rovině. Pouze tentokrát nebudeme hledat průsečík přímky p a na ní kolmé přímky q, ale průsečík přímky p a roviny ρ, která je kolmá na p a leží v ní bod A. Rovnici rovniny ρ získáme stejným postupem jako předtím, musíme mít pouze na paměti, že přímku v prostoru nelze určit jedinou lineární rcí. Vzoreček pro vzdálenost dvou bodů v prostoru je podobný jako v rovině, pouze přibyde jeden výraz:

$\left| AX \right| = \sqrt{\left( x_a - x_x \right)^2 + \left( y_a - y_x \right)^2 + \left( z_a - z_x \right)^2}$

Kategorie: Geometrie

Tento článek je převzat z české wikipedie - otevřené encyklopedie, originální článek naleznete na adrese: „http://cs.wikipedia.org/wiki/Vzd%C3%A1lenost_bodu_od_p%C5%99%C3%ADmky“
Stránka byla naposledy upravena v Stránka byla naposledy editována 20. 8. 2008 v 18:05.
Veškerý text je dostupný za podmínek GNU Free Documentation License (Autorské právo pro podrobnosti).

Vzdálenost bodu od přímky

[editovat] V rovině (v π 2)

[editovat] V prostoru (v π 3)

[editovat] V rovině (v π ₂)

[editovat] V prostoru (v π ₃)