Wienerův filtr

Tento filtr byl navržen tak, aby dokázal zpětně rekonstruovat obrázek, který byl poničen šumem nebo špatnou impulzní odezvou snímacího zařízení. Tato problematika je popsána v článku o rekonstrukci a předzpracování obrazu. Opět jde o to vyřešit tzv. radiometrický inverzní problém, tedy vyjádřit z následující rovnice proměnou $u(x, y)\,$ , což je požadovaný obrázek ještě před deformací špatným fotoaparátem nebo šumem.

$z(x,y) = (u * h)(x, y) + n(x, y) \,$

$h(x, y) \,$ značí impulzní odezvu snímacího zařízení a $n(x,y) \,$ přidaný šum

[editovat] Požadavky kladené na filtr

Jak je zřejmé z prvního matematického vztahu, Wienerův filtr má za úkol spočítat inverzní konvoluci za přítomnosti nenulového šumu. Problém inverzní konvoluce řeší i inverzní filtr, ale jeho korektní funkčnost je omezena jen na obrázky bez šumu. K odvození Wienerova filtru vedli následující dva předpoklady:

$E(\|f'(x, y) - f_i(x, y)\|^2) \,$ → minimální

tedy, že střední hodnota druhé mocniny přes všechny realizace šumu a pro jejich všechny parametry bude mít od hledaného obrázku minimální vzdálenost. $f_i(x, y) \,$ značí hledaný obrázek se všemi známými realizacemi šumu a jejich parametry, $f'(x, y) \,$ značí náš obrázek před deformací šumem. Jak patrné z prvního kritéria, tak metoda vychází z empirických znalostí šumů a pravděpodobnosti jejich rozdělení v obrázku. Druhý požadavek na Wienerův filtr je, aby byl lineární. Tento požadavek se formuluje pro frekvenční oblasti obrázků. Tedy nechť $\mathcal{F}(f') = F \,$ je fouriérova transformace původní obraz, tak jak vypadá bez šumu. $\mathcal{F}(g) = G \,$ je zašuměný obrázek, který má být opraven a $R \,$ je nějaká transformační matice, jež násobením transformuje poškozený obrázek do jeho "opravené" varianty. Zmiňovaná linearita filtru má tedy tvar (parametry funkcí $(u, v) \,$ označují souřadnice ve frekvenční (fouriérově) oblasti):

$\mathcal{F}(f')(u, v) = \mathcal{F}(g)(u, v) \cdot R(u, v) \,$ → $F'(u, v) = G(u, v) \cdot R(u, v)$

[editovat] Vzorec filtru a jeho parametrizace

Z předchozích požadavků byl odvozen následující filtr, který po vynásobení (jedná se o násobení matic po prvcích) s maticí poničeného obrázku dá rekonstruovaný obraz:

$R(u, v) = \frac{1}{H(u, v)} \cdot \frac{|H(u, v)|^2}{|H(u, v)|^2 + S_n(u, v)/S_f(u, v)} \,$

V tomto vzorci $H(u, v) \,$ značí fouriérův obraz impulzní odezvy $h(x, y) \,$ a podíl $S_n(u, v)/S_f (u, v) \,$ je jiný zápis tzv. Signal to Noise Ratio, což nám určuje míru zašumění obrázku. Vidíme, že tento výraz obecně závisí na parametrech frekvence $(u, v) \,$ . Ale za předpokladu bílého šumu můžeme $S_n(u, v) \,$ psát jako rozptyl šumu $\sigma_n^2 \,$ (což je konstanta v celém obrázku), dále budeme předpokládat nekorelovanost obrázku (což v reálu neplatí, ale jako přiblížení se dá použít) a můžeme tedy $S_f(u, v) \,$ aproximovat rozptylem obrázku $\sigma_f^2 \,$ . Z tohoto přiblížení nám výjde, že podíl $S_n(u, v)/S_f(u, v)\,$ máme roven konstantě (číslu) $\sigma_n^2 / \sigma_f^2 \,$ . V praxi to znamená, že za tento podíl dosazujeme různá čísla (např. od 0.001 do 1000) a koukáme, co nám dá nejlepší výsledek. Když Wienerův filtr aplikujeme na nezašuměný obrázek (tedy $S_n(u, v) \,$ bude rovno nule), pak nám tento filtr $R(u, v) \,$ přechází v $R(u, v) = \frac{1}{H(u, v)} \,$ , což je předpis pro inverzní filtr.

[editovat] Ukázka filtru na obrázku

Tento filtr se dá se skvělými výsledky aplikovat na fotografie rozmazané pohybem, defokuzací (rozostřením) nebo vlivem dlouhé expozice. V následujícím obrázku je ukázka aplikace filtru na známý obrázek Lenny. Levý obrázek je nezašuměný originál, uprostřed je na obrázek aplikován bílý šum o rozptylu 50 ( $=\sigma_n^2 \,$ ). Obrázek úplně vpravo je rekonstrukcí zašuměného obrázku s impulzní odezvou:

$\mathbf{h}(x, y)= \frac{1}{9} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

Kategorie: Počítačová grafika | Zpracování digitálního signálu

Tento článek je převzat z české wikipedie - otevřené encyklopedie, originální článek naleznete na adrese: „http://cs.wikipedia.org/wiki/Wiener%C5%AFv_filtr“
Stránka byla naposledy upravena v Stránka byla naposledy editována 26. 6. 2008 v 15:12.
Veškerý text je dostupný za podmínek GNU Free Documentation License (Autorské právo pro podrobnosti).