Wilsonova věta

Wilsonova věta (pojmenovaná po Johnu Wilsonovi) je matematická věta, která zní:

Číslo p > 1 je prvočíslo, právě když .

[editovat] Důkaz

Mohou nastat tři případy:

1. p je prvočíslo.

   Ke každému z čísel, jejichž součin je na levé straně kongruence, existuje číslo inverzní modulo p, inverze je bijekcí, jediná dvě čísla, která se v ní zobrazí sama na sebe, jsou 1 a p − 1. Ostatní čísla se vždy vykrátí s inverzemi, na levé straně je tedy součin .

   Asi by se melo explicitne dokazat, ze 1 a (p-1) jsou jedina idempotentni cisla (tj. a*a mod p = 1):Predpokladejme, ze
   
   .
   Protoze cyklicka (prvociselna) grupa nema zadne delitele nuly krome 0 a p je tedy a-1 = 0 nebo a+1 = p. To jsem to ale pekne dokazal ;-).

1. p je složené, p > 4, pak lze rozlišit dva případy:
   1. Mezi čísly 1, 2, …, p − 1 existují dvě různá čísla a, b taková, že p = ab, takže .
   2. p je druhá mocnina prvočísla q, q > 2. Pak jsou mezi čísly 1, 2, …, p − 1 čísla q, 2q, 2q² | (p − 1)!,
2. p = 4

   

Tento matematický článek je příliš stručný nebo neobsahuje důležité informace. Pomozte Wikipedii tím, že jej vhodně rozšíříte.