Základní věta aritmetiky

Základní věta aritmetiky je matematická věta z oboru aritmetiky, která tvrdí, že každé přirozené číslo větší než 1 lze jednoznačně rozložit na součin prvočísel.

[editovat] Přesná formulace

Pro každé přirozené číslo $x \,\!$ existuje právě jedna skupina přirozených čísel větších než 0: $n, m_1, m_2, \ldots , m_n \,\!$ a právě jedna skupina podle velikosti seřazených prvočísel: $p_1 < p_2 < \ldots < p_n \,\!$ takové, že
$p_1^{m_1}.p_2^{m_2}.p_3^{m_3}. \ldots .p_n^{m_n} = x \,\!$

[editovat] Nástin důkazu

Tvrzení se dokazuje matematickou indukcí:

pro prvočísla (a tedy i konkrétně pro číslo 2) věta triviálně platí - prvočíslo p lze rozložit právě jedním způsobem: $p = p^1 \,\!$
pokud platí pro všechna $i \leq n \,\!$ , pak $n + 1 \,\!$ je buď prvočíslo (viz výše), nebo součin nějakých dvou menších čísel - spojením jejich jednoznačných prvočíselných rozkladů získám určitě minimálně jeden rozklad
zbývá ukázat, že tento rozklad je jednoznačný, tj. stejný, ať zvolím součin jakýmkoliv způsobem - dokazuje se sporem (pokud pro $n + 1 \,\!$ existují dva různé rozklady, pak musely existovat dva různé rozklady také pro nějaké menší číslo, což je ve sporu s indukčním předpokladem)

[editovat] Související články

Související články obsahuje
Portál Matematika

Kategorie: Aritmetika | Matematické věty a důkazy

Základní věta aritmetiky v jiných jazycích: Български, Català, Dansk, Deutsch, Ελληνικά, English, Español, فارسی, Suomi, Français, עברית, Magyar, Íslenska, Italiano, 日本語, ქართული, 한국어, Nederlands, ‪Norsk (bokmål)‬, Polski, Português, Română, Русский, Simple English, Slovenščina, Српски / Srpski, Svenska, ไทย, Türkçe, اردو, Tiếng Việt, 中文

Tento článek je převzat z české wikipedie - otevřené encyklopedie, originální článek naleznete na adrese: „http://cs.wikipedia.org/wiki/Z%C3%A1kladn%C3%AD_v%C4%9Bta_aritmetiky“
Stránka byla naposledy upravena v Stránka byla naposledy editována 3. 8. 2008 v 16:36.
Veškerý text je dostupný za podmínek GNU Free Documentation License (Autorské právo pro podrobnosti).