Zermelo-Fraenkelova teorie množin

(Přesměrováno z ZF, přímý odkaz na Zermelo-Fraenkelova teorie množin)

Zermelo-Fraenkelova teorie množin (ZF) je nejrozšířenější axiomatickou soustavou teorie množin, která je sama o sobě nebo v některých mírných modifikacích (např. obohacena o axiom výběru - v takovém případě mluvíme o ZFC) používána jako základ pro většinu dalších odvětví matematiky (Algebra, Matematická analýza).

Principem ZF je postupná konstrukce množin - objektů množinového univerza - z několika základních axiomů tak, aby vzniklá teorie byla dostatečně bohatá (je třeba umožnit existenci nespočetných množin typu reálných čísel, existenci shora neomezené řady nekonečných kardinalit), ale zároveň neumožňovala existenci množin použitých v paradoxech klasické intuitivně pojaté teorie množin (vizte Russelův paradox, Burali-Fortiho paradox).

[editovat] Axiomy ZF

[editovat] Axiom extenzionality

Množiny, které mají stejné prvky, se rovnají.

$(\forall a)(\forall b)(a = b \Leftrightarrow (\forall x)(x \isin a \Leftrightarrow x \isin b))$

Tento axiom uvádí do souvislosti dva základní operátory jazyka teorie množin - operátor rovnosti a operátor náležení. Tvrdí zjednodušeně řečeno, že rovnost dvou množin záleží pouze na prvcích, které obsahují (což není úplně samozřejmé - například rovnost vektorů v lineární algebře závisí nejen na prvcích vektoru, ale i na jejich pořadí).

[editovat] Schéma axiomů nahrazení

Je-li F(x,y) formule jazyka teorie množin v proměnných x,y, která je navíc zobrazením (tj. pokud F(x,y) a F(x,z), pak y = z) pak každý výrok
Pro každou množinu a existuje množina b obsahující právě všechny obrazy prvků množiny a v zobrazení F(x,y)

$(\forall x,y,z)((F(x,y) \and F(x,z)) \implies y = z) \implies (\forall a)(\exists b)(\forall w)(w \isin b \Leftrightarrow (\exists v)(v \isin a \and F(v,w)))$

je axiomem ZF.

Jednoduše řečeno: pokud mám rozumně definované (jazykem teorie množin) zobrazení, pak obrazem množiny v tomto zobrazení je opět množina.

Poznámka: Schéma axiomů nahrazení není v pravém slova smyslu axiom - jedná se o metajazykový návod, podle něhož lze vytvořit teoreticky neomezený počet axiomů.

Z historických důvodů je do axiomatiky ZF často zahrnováno také následující schéma axiomů vydělení - toto schéma je důsledkem obecnějšího schématu axiomů nahrazení, není tedy pro budování teorie množin nezbytně nutné. Zmiňuji jej zde, protože bylo součástí původní Zermelovy teorie množin, ze které vzešla ZF mimo jiné právě přidáním schématu nahrazení:

[editovat] Schéma axiomů vydělení

Je-li F(x) formule jazyka teorie množin v proměnné x, která neobsahuje volně proměnnou b, pak každý výrok
Pro každou množinu a existuje množina b, která obsahuje právě ty prvky množiny a, pro které platí formule F(x)

$(\forall a)(\exists b)(\forall x)(x \isin b \Leftrightarrow (x \isin a \and F(x)))$

je axiomem ZF.

Jednoduše řečeno: pokud si zvolím jakékoliv rozumné kritérium (tj. kritérium popsatelné formulí jazyka teorie množin), pak pomocí něj mohu vybrat prvky z množiny - a výsledkem je opět množina. Díky tomuto kritériu lze tedy z větší množiny zkonstuovat pomocí různých formulí různé „menší“ množiny - má smysl mluvit o podmnožině:

$x \subseteq y \Leftrightarrow (\forall z)(z \isin x \implies z \isin y)$

Díky schématu axiomů vydělení má dobrý smysl mluvit o prázdné množině (značení $\emptyset$ ), tj. množině, která neobsahuje žádné prvky - stačí dosadit za F(x) formuli „x se nerovná x“.

Díky schématu axiomů vydělení má dobrý smysl mluvit o průniku dvou množin - stačí použít jako F(x) formuli $x \isin b$ a mám zaručenou existenci množiny $a \cap b$ , která obsahuje prvky z a, které zároveň splňují F(x), tj. patří do b.

[editovat] Axiom dvojice

Pro každé dvě množiny a,b existuje množina c obsahující právě tyto dvě množiny .

$(\forall a)(\forall b)(\exists c)(\forall x)(x \isin c \Leftrightarrow (x = a \vee x = b))$

Konečně axiom, u kterého není moc o čem přemýšlet - pokud vezmu dvě množiny a,b, pak mohu vytvořit množinu (značenou obvykle {a,b}), která obsahuje dva prvky: a a b. Pokud navíc vezmu a = b, dostávám jednoprvkovou množinu značenou {a}.

Poznámka: Aby v tom byl ještě větší zmatek, ani axiom dvojice není v pravém slova smyslu axiom ZF - lze jej dokázat ze schématu nahrazení a axiomu potence. Axiom dvojice byl opět součástí Zermelovy axiomatické teorie, která neobsahovala schéma nahrazení.

[editovat] Axiom sumy

Pro každou množinu a existuje množina b, která obsahuje právě všechny prvky prvků množiny a.

$(\forall a)(\exists b)(\forall x)(x \isin b \Leftrightarrow (\exists y)(x \isin y \and y \isin a))$

Množina, jejíž existenci zaručuje tento axiom, je obvykle nazývána sumou množiny a, značí se:

$\bigcup a$

Pokud mi axiom dvojice umožňoval vytvářet „nadřazenou“ množinu v hierarchii náležení, pak axiom sumy mi naopak umožňuje vytvářet množiny z „podřízených“ prvků - tj. prvků prvků, prvků prvků prvků, prvků prvků prvků prvků,…

Poznámka: Zde je na místě připomenout, že objektem ve světě teorie množin je vždy a pouze množina. Pokud chci například mluvit o přirozených nebo reálných číslech, musím si je „zkonstruovat“ jako množinu množin, které lze seřadit tak, aby to odpovídalo intuitivní představě o vlastnostech příslušného souboru čísel.

Díky axiomu sumy a axiomu dvojice má dobrý smysl mluvit o sjednocení dvou množin $a \cup b$ - jedná se o sumu dvouprvkové množiny $\bigcup \{ a,b \}$

[editovat] Axiom potenční množiny

Pro každou množinu a existuje množina b, která obsahuje právě všechny podmnožiny množiny a.

$(\forall a)(\exists b)(\forall x)(x \isin b \Leftrightarrow x \subseteq a)$

Množina, jejíž existenci zaručuje tento axiom, je obvykle označována jako potenční množina množiny a, značí se $\mathbb{P}(a)$ .

Poznámka: Schéma axiomů vydělení nám zajišťuje existenci podmnožin - mohu je konstruovat pomocí jednotlivých formulí jazyka teorie množin. Je tedy jen logické, že tyto podmnožiny sdružím do jedné „množiny podmnožin“. I přes tuto svoji „intuitivní“ správnost je axiom potenční množiny překvapivě silný - pokud existuje alespoň jedna nekonečná množina (viz axiom nekonečna), pak z tohoto axiomu vyplývá existence nekonečně mnoha nekonečných kardinalit, jak o tom mluví Cantorova věta.

[editovat] Axiom nekonečna

Existuje množina přirozených čísel (přesněji množina, která obsahuje prázdnou množinu a pro každý svůj prvek x také sjednocení x a {x}).

$(\exists a)(\emptyset \isin a \and (x \isin a \implies x \cup \{ x \} \isin a))$

Poznámka: Tento axiom nezaručuje pouze existenci nějaké množiny - zajišťuje existenci alespoň jedné nekonečné množiny. V některých alternativních modelech je proto nahrazován slabším axiomem existence množiny: Existuje alespoň jedna množina: $(\exists a)(a = a)$ .

Tento axiom se trochu vymyká ostatním - zaručuje existenci jedné konkrétní množiny, ale zato (když už, tak už) nekonečné. Podívejme se, co vlastně tato množina (v teorii množin označovaná obvykle $ω$ nebo $ω 0$ ) obsahuje.

Obsahuje prázdnou množinu $\emptyset$ - označme ji jako číslo 0
Obsahuje množinu $\emptyset \cup \{ \emptyset \} = \{ \emptyset \}$ - označme ji jako 1
Obsahuje množinu $1 \cup \{ 1 \} = \{ 0,1 \}$ - označme ji jako 2

…

Dostáváme tak strukturu, která nápadně připomíná přirozená čísla v jejich intuitivně používaném významu - každé číslo obsahuje v sobě všechna menší (předcházející) a množina přirozených čísel je pak obsahuje všechny:

$\omega_0 = \{ 0,1,2,3,... \} \,\!$

[editovat] Poznámka k axiomu nekonečna

Zajímavým důsledkem axiomu nekonečna je Goodsteinova věta, která se týká výhradně konečných přirozených čísel, ale nelze ji dokázat bez přijetí axiomu nekonečna nebo nějaké jeho obdoby.

[editovat] Axiom fundovanosti

Pro každou množinu a platí, že pokud je neprázdná, pak obsahuje alespoň jeden prvek b, který má s a prázdný průnik.

$(\forall a)(a \neq \emptyset \implies (\exists b)(b \in a \and b \cap a = \emptyset))$

Poznámka: Tento axiom se podstatně liší od všech ostatních, které mají konstrukční charakter - dávají návod, jak z nějaké již existující množiny vytvářet další množiny. Naproti tomu axiom fundovanosti je obecnou charakteristikou všech myslitelných množin - zabraňuje existenci „ošklivých množin“ - například množiny, která by byla sama sobě prvkem, nebo dvojice množin a,b, kde $a \isin b$ a zároveň $b \isin a$ .

[editovat] Související články

Související články obsahuje
Portál Matematika

Kategorie: Axiomy a axiomatizace teorie množin

Zermelo-Fraenkelova teorie množin v jiných jazycích: Dansk, Deutsch, English, Español, Français, Italiano, 한국어, Polski, Português, Српски / Srpski, Svenska, Türkçe, Українська, 中文, Bân-lâm-gú

Tento článek je převzat z české wikipedie - otevřené encyklopedie, originální článek naleznete na adrese: „http://cs.wikipedia.org/wiki/Zermelo-Fraenkelova_teorie_mno%C5%BEin“
Stránka byla naposledy upravena v Stránka byla naposledy editována 18. 10. 2008 v 13:42.
Veškerý text je dostupný za podmínek GNU Free Documentation License (Autorské právo pro podrobnosti).