Zlatý řez

Zlatý obdélník

Jako zlatý řez (latinsky sectio aurea) se označuje poměr o hodnotě přibližně 1:1,618. V umění je pokládán za ideální proporci mezi různými délkami. Zlatý řez vznikne rozdělením úsečky na dvě části tak, že poměr malé části k větší je stejný jako poměr větší části k celé úsečce. Hodnota tohoto poměru je rovna iracionálnímu číslu

$\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}61803\ 39887\ 49894\ 84820\ldots$

Již nejméně od renesance využívají zlatý řez umělci ve svých dílech, zejména ve formě tzv. zlatého obdélníku, ve kterém se zlatý řez vyskytuje jako poměr stran. Zlatý řez prý totiž působí esteticky příznivým dojmem; poměr zlatého řezu lze také pozorovat v přírodě.^[1]

Značení $\varphi$ začal na počátku 20. století používat Mark Barr, přičemž jej zvolil na počest řeckého sochaře Feidia (cca 490–430 př. n. l.), který podle historiků ve svých dílech zlatý řez hojně využíval. Občas se používá také označení $τ$ z řeckého tome = řez.

Obsah

1 Výpočet
2 Vlastnosti
- 2.1 Zápis zlatého řezu v desítkové soustavě
- 2.2 Prvních 30 aproximací zlatého řezu zlomkem
3 Reference
4 Související články
5 Externí odkazy

[editovat] Výpočet

Pokud části úsečky označíme jako $a$ a $b$ , musí platit

$\frac{b}{a}=\frac{a}{a+b}$ , přičemž $\varphi = \frac{a}{b}$ .

To znamená, že $a = b \varphi$ , což po dosazení do první rovnice dává

$\frac{b}{b \varphi}=\frac{b \varphi}{b \varphi + b}$ .

Úpravou této rovnice se získá kvadratická rovnice

$\varphi^2 - \varphi - 1 = 0$ ,

jejímž kladným kořenem (záporný zde nemá smysl) je

$\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ .

[editovat] Vlastnosti

Zlatý řez v pětiúhelníku

Zlatý řez má mnoho zajímavých vlastností, například se vyskytuje v pravidelném pětiúhelníku nebo je to limita poměru mezi dvěma následujícími členy Fibonacciho posloupnosti.

Obdélník, jehož poměr stran odpovídá zlatému řezu, lze rozdělit na čtverec a obdélník, jehož poměr stran opět odpovídá zlatému řezu.

Pokud vezmeme libovolné číslo $a 0 > 1$ , pak řady

$a_{i+1} = \frac{1}{a_{i}-1}$ ,
$a_{i+1} = \frac{1}{a_{i}}+1$

konvergují ke zlatému řezu.

Číslo $\varphi$ lze vyjádřit pomocí řetězového zlomku:

$\varphi = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \ldots}}}}}$

[editovat] Zápis zlatého řezu v desítkové soustavě

1,6180339887 4989484820 4586834365 6381177203 0917980576
  2862135448 6227052604 6281890244 9707207204 1893911374
  8475408807 5386891752 1266338622 2353693179 3180060766
  7263544333 8908659593 9582905638 3226613199 2829026788
  0675208766 8925017116 9620703222 1043216269 5486262963
  1361443814 9758701220 3408058879 5445474924 6185695364
  8644492410 4432077134 4947049565 8467885098 7433944221
  2544877066 4780915884 6074998871 2400765217 0575179788
  3416625624 9407589069 7040002812 1042762177 1117778053
  1531714101 1704666599 1466979873 1761356006 7087480710
  1317952368 9427521948 4353056783 0022878569 9782977834
  7845878228 9110976250 0302696156 1700250464 3382437764
  8610283831 2683303724 2926752631 1653392473 1671112115
  8818638513 3162038400 5222165791 2866752946 5490681131
  7159934323 5973494985 0904094762 1322298101 7261070596
  1164562990 9816290555 2085247903 5240602017 2799747175
  3427775927 7862561943 2082750513 1218156285 5122248093
  9471234145 1702237358 0577278616 0086883829 5230459264
  7878017889 9219902707 7690389532 1968198615 1437803149
  9741106926 0886742962 2675756052 3172777520 3536139362
  1076738937 6455606060 5921658946 6759551900 4005559089
  ...

[editovat] Prvních 30 aproximací zlatého řezu zlomkem

(určeným metodou řetězových zlomků)

i  ai    abs err  Pi           Qi           Pi/Qi
-- ----  -------- ----------   ----------   ----------------------
 0    1   6.2E-01          1 /          1 =  1.000000000000000E+00
 1    1  -3.8E-01          2 /          1 =  2.000000000000000E+00
 2    1   1.2E-01          3 /          2 =  1.500000000000000E+00
 3    1  -4.9E-02          5 /          3 =  1.666666666666667E+00
 4    1   1.8E-02          8 /          5 =  1.600000000000000E+00
 5    1  -7.0E-03         13 /          8 =  1.625000000000000E+00
 6    1   2.6E-03         21 /         13 =  1.615384615384615E+00
 7    1  -1.0E-03         34 /         21 =  1.619047619047619E+00
 8    1   3.9E-04         55 /         34 =  1.617647058823529E+00
 9    1  -1.5E-04         89 /         55 =  1.618181818181818E+00
10    1   5.6E-05        144 /         89 =  1.617977528089888E+00
11    1  -2.2E-05        233 /        144 =  1.618055555555556E+00
12    1   8.2E-06        377 /        233 =  1.618025751072961E+00
13    1  -3.1E-06        610 /        377 =  1.618037135278515E+00
14    1   1.2E-06        987 /        610 =  1.618032786885246E+00
15    1  -4.6E-07       1597 /        987 =  1.618034447821682E+00
16    1   1.8E-07       2584 /       1597 =  1.618033813400125E+00
17    1  -6.7E-08       4181 /       2584 =  1.618034055727554E+00
18    1   2.6E-08       6765 /       4181 =  1.618033963166706E+00
19    1  -9.8E-09      10946 /       6765 =  1.618033998521803E+00
20    1   3.7E-09      17711 /      10946 =  1.618033985017358E+00
21    1  -1.4E-09      28657 /      17711 =  1.618033990175597E+00
22    1   5.4E-10      46368 /      28657 =  1.618033988205325E+00
23    1  -2.1E-10      75025 /      46368 =  1.618033988957902E+00
24    1   7.9E-11     121393 /      75025 =  1.618033988670443E+00
25    1  -3.0E-11     196418 /     121393 =  1.618033988780243E+00
26    1   1.2E-11     317811 /     196418 =  1.618033988738303E+00
27    1  -4.4E-12     514229 /     317811 =  1.618033988754322E+00
28    1   1.7E-12     832040 /     514229 =  1.618033988748204E+00
29    1  -6.5E-13    1346269 /     832040 =  1.618033988750541E+00
30    1   2.5E-13    2178309 /    1346269 =  1.618033988749648E+00

[editovat] Reference

↑ Ing. arch. Dušan Řezáč: Le Corbusier – MODULOR, archiweb.cz, 2007-09-26. Navštíveno 2008-03-24.

[editovat] Související články

Zlatý úhel

[editovat] Externí odkazy

Zlatý řez v encyklopedii MathWorld (anglicky)
Číslice zlatého řezu v encyklopedii OEIS

Zlatý řez v jiných jazycích: Boarisch, Български, বাংলা, Català, Dansk, Deutsch, Ελληνικά, English, Esperanto, Español, Eesti, Suomi, Français, עברית, Hrvatski, Magyar, Interlingua, Íslenska, Italiano, 日本語, Қазақша, 한국어, Lumbaart, Lietuvių, Nederlands, ‪Norsk (bokmål)‬, Polski, Português, Română, Русский, Simple English, Slovenčina, Slovenščina, Svenska, ไทย, Türkçe, Українська, Tiếng Việt, West-Vlams, 中文

Tento článek je převzat z české wikipedie - otevřené encyklopedie, originální článek naleznete na adrese: „http://cs.wikipedia.org/wiki/Zlat%C3%BD_%C5%99ez“
Stránka byla naposledy upravena v Stránka byla naposledy editována 27. 6. 2008 v 06:25.
Veškerý text je dostupný za podmínek GNU Free Documentation License (Autorské právo pro podrobnosti).