Zlomek

Zlomek označuje v matematice podíl dvou výrazů. Zlomek, ve kterém jsou oba výrazy celá čísla, se nazývá racionální číslo. Zápis pomocí zlomků je vhodný pro provádění elementárních úprav složitějších výrazů.

Obsah

1 Hlavní pojmy
2 Počítání se zlomky
- 2.1 Příklady početních úkonů se zlomky
3 Jiné vyjádření zlomků
4 Historie zlomků
5 Externí odkazy

[editovat] Hlavní pojmy

Každý použitelný číselný systém se musí vypořádat s necelými čísly. Každý zápis zlomku je založen na části celku (například polovina ¹/₂, tři čtvrtiny ³/₄, dvě třetiny ²/₃).

Zlomek se zapisuje ve tvaru $\frac{a}{b}$ nebo $a / b$ . Výraz $a$ se nazývá čitatel (nad zlomkovou čárou) a výraz $b$ se nazývá jmenovatel (pod zlomkovou čárou). Aby měl zlomek smysl, nesmí být $b$ nula (nulou nelze dělit).

Pokud se v čitateli i ve jmenovateli zlomku opět nachází zlomek, tzn. jedná se o výraz ve tvaru $\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}$ , pak takový zlomek označujeme jako složený.

Pokud je jmenovatel větší než čitatel (zlomek je menší než jedna) označuje se tento zlomek jako pravý zlomek.

Celá čísla a zlomky lze kombinovat. Například jeden a půl lze vyjádřit takto 1 ¹/₂. Zlomky lze převést do smíšeného tvaru (například ⁵/₄ = 1 ¹/₄).

[editovat] Počítání se zlomky

Zlomky se dají sčítat, odčítat, násobit a dělit, dokonce i umocňovat. Chceme-li vynásobit dva zlomky, vynásobíme mezi sebou oba čitatele a oba jmenovatele. Součin čitatelům napíšeme nad zlomkovou čáru a součin jmenovatelů pod ní.

Abychom mohli sečíst nebo odečíst dva zlomky, musí mít stejného jmenovatele (například ¹/₂ + ³/₂ = ⁴/₂, tedy číslo 2). V Případě nutnost lze jeden nebo oba zlomky převést na společného jmenovatele (¹/₂ + ¹/₃ se přepíše jako ³/₆ + ²/₆ a po sečtení dostaneme ⁵/₆).

[editovat] Příklady početních úkonů se zlomky

$\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{ad \pm bc}{bd}$

$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$

Pokud navíc $c \neq 0$ , pak

$\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a d}{b c}$

Dva zlomky $a \over b$ a $c \over d$ mají stejnou hodnotu tehdy a jen tehdy, když $a d = b c$ (tzn. jejich podíl je 1).

$- \left( \frac{a}{b} \right) = \frac{-a}{b}$

$\left(\frac{a}{b}\right)^{n} = \frac{a^n}{b^n}$

Pokud máme zlomek $\frac{a}{b}$ , přičemž čitatel lze vyjádřit jako $a = c \cdot r$ a jmenovatel jako $b = c \cdot s$ , pak lze zlomek $\frac{a}{b}$ vyjádřit v ekvivalentním tvaru jako

$\frac{a}{b} = \frac{r}{s}$

Tento postup je označován jako krácení zlomku. Hodnoty obou zlomků jsou ekvivalentní a lze je libovolně zaměňovat. Platí tedy např. $\frac{4}{8} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ . Je vidět, že vzájemně ekvivalentních zlomků existuje nekonečné množství, např. $\frac{1}{2} = \frac{n}{2n}$ pro libovolné přirozené číslo n.

Podaří-li se zkrátit zlomek na tvar $\frac{n}{1}$ , pak jej pokládáme roven přímo číslu n, tzn. $\frac{n}{1} = n$ . Např. $\frac{4}{2} = \frac{2}{1} = 2$ .

Při provádění složitějších operací na zlomky se zlomek $a / b$ chová jako $a \cdot b^{-1}$ , takže například:

$\log \left( \frac{a}{b} \right) = \log (a \cdot b^{-1}) = \log a - \log b$

[editovat] Jiné vyjádření zlomků

V desetinném zápise se zlomky vyjadřují jako desetiny, setiny, tisíciny, nebo miliontiny (například ¹/₂ = 0,5).

Zlomek lze také převést na procentuální podíl z celku (například ¹/₂ = 50 %).

Zlomek	Procenta	Desetinné číslo
1/2	50 %	0,5
1/3	33,33 %	0,333
1/4	25 %	0,25
1/5	20 %	0,2
1/6	16,66 %	0,166
1/8	12,5 %	0,125
1/10	10,0 %	0,1
2/3	66,66 %	0,666
3/4	75 %	0,75
3/5	60%	0,6

[editovat] Historie zlomků

V různých civilizacích z důvodu rozvoje průmyslu a obchodu, architektury, mořeplavby, přírodních a jiných věd vznikla potřeba velkých a obtížných aritmetických výpočtů, což vedlo k většímu rozvoji matematiky. Egypťané používali zlomky již asi 1000 př.n.l. Skoro všechny zlomky se však převáděly na součty tzv. kmenových zlomků, tj. zlomků s čitatelem rovným jedné.

[editovat] Externí odkazy

Práce se zlomky na Matematice polopatě
http://mathworld.wolfram.com/Fraction.html

Tento matematický článek je příliš stručný nebo neobsahuje důležité informace.
Pomozte Wikipedii tím, že jej vhodně rozšíříte.

Kategorie: Aritmetika

Tento článek je převzat z české wikipedie - otevřené encyklopedie, originální článek naleznete na adrese: „http://cs.wikipedia.org/wiki/Zlomek“
Stránka byla naposledy upravena v Stránka byla naposledy editována 23. 11. 2008 v 01:03.
Veškerý text je dostupný za podmínek GNU Free Documentation License (Autorské právo pro podrobnosti).