Hookeův zákon

(Přesměrováno z Zobecněný Hookův zákon, přímý odkaz na Hookeův zákon)

Hookeův zákon popisuje pružnou deformaci materiálu působením síly, za předpokladu malých sil a malých deformací, které po odlehčení zmizí. Lze jej formulovat např. ve tvaru:

Deformace je úměrná napětí materiálu.

Hookeův zákon v tomto tvaru bývá také označován jako elementární Hookeův zákon.

Hookeův zákon je pojmenován po britském fyzikovi Robertu Hookeovi, který tento zákon poprvé zapsal roku 1676. Později ho formuloval latinsky jako

„

Ut tensio, sic vis.

“

Obsah

1 Tah a tlak
2 Smyk
3 Obecný tvar Hookeova zákona
- 3.1 Zobecněný Hookeův zákon
4 Související články
5 Literatura

[editovat] Tah a tlak

Podrobnější informace naleznete v článku Hookův zákon pro tah.

Hookeův zákon pro tah a tlak lze (pro malá napětí a malé deformace) vyjádřit ve tvaru

$\varepsilon = \frac{\sigma}{E}$ ,

kde $\varepsilon=\frac{\Delta l}{l}$ je poměrné délkové prodloužení (přičemž $l$ označuje délku vzorku), $E$ je modul pružnosti v tahu (Youngův modul), $σ$ je mechanické napětí.

Lze se také setkat se zápisem $F = - k x$ , kde $F$ je působící síla, $k$ konstanta pružnosti materiálu a $x$ prodloužení materiálu.

[editovat] Smyk

Podrobnější informace naleznete v článku Hookeův zákon pro smyk.

Hookeův zákon pro smyk lze (pro malá napětí a malé deformace) vyjádřit ve tvaru

$\gamma = \frac{\tau}{G}$ ,

kde $γ$ je úhel smyku, $τ$ je tečné napětí a $G$ je modul pružnosti ve smyku.

[editovat] Obecný tvar Hookeova zákona

Lineární vztah mezi napětím a deformací, známý z elementárního Hookeova zákona pro tah nebo smyk, lze (s použitím Einsteinova sumačního pravidla) zobecnit na lineární vztah mezi tenzorem napětí a tenzorem deformací

σ i j = C i j k l e k l

kde $σ i j$ jsou složky tenzoru napětí, $e k l$ jsou složky tenzoru malých deformace a koeficienty $C i j k l$ vystihují vlastnosti látky {bývají označovány jako elastické koeficienty). Uvedený vztah představuje obecný tvar Hookova zákona.

Koeficienty $C i j k l$ jsou složkami tenzoru čtvrtého řádu. Počet nezávislých složek tenzoru $C i j k l$ se v důsledku symetrie tenzorů $σ i j$ a $e k l$ snižuje na 21. Takový počet elastických koeficientů je nutný pro popis chování krystalů trojklonné soustavy, tedy soustavy s nejmenší symetrií. Pro popis krystalových soustav s vyšší symetrií postačuje menší počet elastických koeficientů.

[editovat] Zobecněný Hookeův zákon

K popisu izotropního tělesa postačují dva nezávislé elastické koeficienty. Pro teoretické výpočty jsou voleny tzv. Laméovy (elastické) konstanty $λ$ a $μ$ , pro praktické účely jsou spíše užívány Youngův modul (modul pružnosti v tahu) $E$ a modul pružnosti ve smyku $G$ . Modul pružnosti ve smyku $G$ je totožný s Laméovou konstantou $μ$ . Pomocí Laméových konstant získá obecné vyjádření Hookeova zákona pro izotropní těleso tvar

σ i j = λδ i j e I + 2μ e i j

kde $e I$ je stopa tenzoru malých deformací a $δ i j$ je Kroneckerův symbol. Tato rovnice, která je platná pro izotropní látku, se označuje jako zobecněný Hookeův zákon.

Jsou-li elastické vlastnosti látky popsány moduly $E$ a $G$ , lze zobecněný Hookeův zákon vyjádřit jako

$\sigma_{ij} = \frac{G(E-2G)}{3G-E}\delta_{ij}e_I + 2Ge_{ij}$

Označíme-li stopu tenzoru napětí jako $σ I$ , pak platí

σ I = (3λ + 2μ) e I

Po dosazení do předchozíchg vztahů získáme vyjádření závislosti $e i j$ na $σ i j$ , tzn.

$e_{ij} = -\frac{\lambda}{2\mu(3\lambda+2\mu)}\delta_{ij}\sigma_I + \frac{1}{2\mu}\sigma_{ij}$

popř.

$e_{ij} = \frac{2G-E}{2GE}\delta_{ij}\sigma_I + \frac{1}{2G}\sigma_{ij}$

[editovat] Související články

[editovat] Literatura

Encyklopedie fyziky, Martin Macháček, Praha, Mladá fronta 1995

Kategorie: Fyzikální zákony

Hookeův zákon v jiných jazycích: العربية, Bosanski, Català, Dansk, Deutsch, Ελληνικά, English, Español, Eesti, فارسی, Suomi, Français, Galego, עברית, हिन्दी, Hrvatski, Magyar, Italiano, 日本語, 한국어, Lietuvių, Latviešu, Nederlands, ‪Norsk (bokmål)‬, Polski, Português, Русский, Simple English, Slovenčina, Slovenščina, Svenska, Українська, 中文

Tento článek je převzat z české wikipedie - otevřené encyklopedie, originální článek naleznete na adrese: „http://cs.wikipedia.org/wiki/Hooke%C5%AFv_z%C3%A1kon“
Stránka byla naposledy upravena v Stránka byla naposledy editována 14. 10. 2008 v 20:30.
Veškerý text je dostupný za podmínek GNU Free Documentation License (Autorské právo pro podrobnosti).