Optické zobrazení

(Přesměrováno z Zobrazovací rovnice, přímý odkaz na Optické zobrazení)

Za optické zobrazení se považuje nalezení postupu, kterým lze získat optické obrazy bodů nebo předmětů.

Konstrukce optického zobrazení je důležitou částí geometrické optiky, která našla uplatnění především při vytváření optických přístrojů.

Rozlišuje se optické zobrazení odrazem, při němž dochází v optickém systému k odrazu paprsku, a optické zobrazení lomem, při kterém dochází k lomu paprsku.

[editovat] Optický obraz

Svítící nebo osvětlený bod (těleso), které se má zobrazit, se nazývá předmět. Předpokládejme, že z bodu předmětu vychází úzký svazek paprsků, který se označuje jako homocentrický svazek. Tento svazek vstupuje do optického systému (soustavy), kde se mění, aby z optické soustavy vystoupil jako jiný homocentrický svazek, jehož paprsky se sbíhají v bodě, který se nazývá (optickým) obrazem. Obraz tvoří vrchol svazku homocentrických paprsků. Část prostoru, ve které se vzhledem k optickému systému nachází předmět, se nazývá předmětový prostor. Část prostoru, ve které se vytváří obraz, se nazývá obrazovým prostorem.

[editovat] Skutečný a zdánlivý obraz

Paprsky, které se po průchodu optickou soustavou sbíhají a protínají, vytvářejí obraz skutečný (reálný). Paprsky, které vytváří skutečný obraz jsou sbíhavé.

Pokud se paprsky po průchodu optickým systémem rozbíhají, nemohou se v žádném skutečném bodě protnout. Takovéto paprsky se však mohou protínat ve svém prodloužení v opačném směru než je šíření světla, čímž mohou vytvořit obraz zdánlivý (neskutečný, virtuální).

V obrazové oblasti c vzniká skutečný obraz předmětu, který se nachází v předmětové oblasti a. Optická soustava je představována oblastí b. Obraz je zvětšený a převrácený.

V oblasti c jsou rozbíhající se paprsky, které vytváří zdánlivý obraz v oblasti a, v níž se nachází také předmět. Optická soustava je představována oblastí b. Obraz je zmenšený a přímý.

[editovat] Zvětšení

Poměr určitých sdružených veličin obrazu a předmětu definuje zvětšení. Využívají se následující druhy zvětšení.

[editovat] Příčné (laterální) zvětšení

Příčné zvětšení se značí $β$ .

Toto zvětšení je určeno poměrem velikostí (příčných rozměrů) obrazu a předmětu, tzn.

$\beta = \frac{y^\prime}{y}$ ,

kde $y$ označuje velikost předmětu a $y^\prime$ označuje velikost obrazu.

Při $| β | = 1$ má obraz stejnou velikost jako předmět. Při $| β | > 1$ jde o obraz zvětšený, při $| β | < 1$ o obraz zmenšený. Při $β > 0$ jde o obraz přímý, a při $β < 0$ o obraz převrácený.

Abbého invariant

n·(1/r - 1/s) = n`·(1/r - 1/s`)

[editovat] Úhlové (angulární) zvětšení

Příčné zvětšení se značí $γ$ .

Úhlové zvětšení je určeno poměrem tangent úhlů $σ$ a $\sigma^\prime$ , které svírají sdružené paprsky (předmětový a obrazový) s optickou osou.

$\gamma = \frac{\operatorname{tg}\sigma^\prime}{\operatorname{tg}\sigma}$

[editovat] Osové (axiální) zvětšení

Osové zvětšení se značí $α$ .

Osové zvětšení je definováno jako poměr dvou elementárních úseček na hlavní ose, tzn.

$\alpha = \frac{\mathrm{d}x^\prime}{\mathrm{d}x}$

Toto zvětšení bývá někdy nazýváno zvětšením do hloubky.

[editovat] Vlastnosti

Mezi jednotlivými druhy zvětšení platí vztah, který lze vyjádřit ve tvaru

$\frac{\alpha\gamma}{\beta}=1$

[editovat] Význačné prvky optického zobrazení

Cílem optického zobrazení je obvykle získání obrazu, který bude mít podobné geometrické vlastnosti jako předmět, tzn. bod se zobrazí jako bod, přímka jako přímka, rovina jako rovina apod. Takovéto přiřazení předmětů a obrazů je jednoznačné a označuje se jako kolineární. Jednotlivé útvary, které si při kolineárním zobrazení vzájemně přísluší, se označují jako sdružené (konjugované) útvary.

Pro konstrukci obrazu jsou význačné tzv. základní body optické soustavy, mezi které patří:

hlavní body - Hlavní body (předmětový a obrazový) jsou definovány jako dvojice sdružených bodů na optické ose, pro které je příčné zvětšení $β$ rovno jedné.
uzlové body - Uzlové body (předmětový a obrazový) jsou definovány jako dvojice sdružených bodů na optické ose, pro které je úhlové zvětšení $γ$ rovno jedné.
ohniska - Předmětové ohnisko $F$ je bod ležící na optické ose v předmětovém prostoru, jehož obraz leží v nekonečnu. Podobně je obrazové ohnisko $F^\prime$ bod na optické ose, který je obrazem bodu ležícího v předmětovém prostoru v nekonečné vzdálenosti od optické soustavy.

Pokud proložíme základním bodem rovinu kolmou k optické ose, dostaneme rovinu hlavní, uzlovou nebo ohniskovou.

[editovat] Optické zobrazení lomem a odrazem

Při tvorbě optických systémů, které zprostředkovávají optické zobrazení, se využívají určité jednoduché optické prvky. Za základní optický prvek lze považovat jakoukoli lámavou nebo odrážející plochu, která odděluje dvě optická prostředí s vhodnými vlastnostmi. Tyto plochy mají obvykle rovinný nebo kulový tvar.

[editovat] Optické zobrazení lomem na kulové ploše

Zobrazení lomem na kulové ploše.

Uvažujme dvě homogenní optická prostředí s absolutními indexy lomu $n$ a $n^\prime$ , která jsou oddělena kulovou plochou. Poloměr $r$ této kulové plochy budeme podle konvence počítat kladně, pokud je kulová plocha obrácena k dopadajícím paprskům vypuklou stranou. Sledujeme vlastnosti paprsků, které se na této ploše lámou.

[editovat] Zobrazovací rovnice

Spojnici zdroje paprsku $P$ a středu křivosti plochy $S$ nazýváme optickou osou. Paprsek, který je totožný s optickou osou dopadá na kulovou plochu kolmo a jeho směr se zachovává. Obraz $P^\prime$ bodu $P$ , který leží na optické ose, tedy bude také ležet na optické ose.

Paprsek, který vychází z bodu $P$ , který leží na optické ose ve vzdálenosti $a$ od vrcholu kulové plochy $V$ , a svírá s optickou osou úhel $γ$ , dopadne na kulovou plochu v bodě $A$ pod úhlem $α$ , bude se lámat pod úhlem $\alpha^\prime$ , aby vytvořil obraz $P^\prime$ ležící na optické ose ve vzdálenosti $a^\prime$ , přičemž v bodě $P^\prime$ svírá paprsek s optickou osou úhel $\gamma^\prime$ .

Vztah mezi úhly $α$ a $\alpha^\prime$ je dán zákonem lomu. Pro paprsky, které svírají s optickou osou velmi malý úhel jej můžeme nahradit vztahem

$n\alpha=n^\prime\alpha^\prime$

Podle obrázku lze z trojúhelníků $P A S$ a $SAP^\prime$ určit vztahy $α = ω + γ$ a $\alpha^\prime=\omega-\gamma^\prime$ , což umožňuje předchozí vztah přepsat do tvaru

$n(\omega+\gamma)=n^\prime(\omega-\gamma^\prime)$

Podíl vzdálenosti a předmětového bodu $P$ od vrcholu $V$ kulové plochy a vzdálenosti $h$ bodu dopadu $A$ od optické osy určuje úhel $γ$ , tzn. $\sin\gamma=\frac{h}{a}$ . Pro paprsky blízké optické ose lze položit $\gamma\approx\sin\gamma$ , tzn. $\gamma=\frac{h}{a}$ . Podobnou úvahou dostaneme $\gamma^\prime=\frac{h}{a^\prime}$ a $\omega=\frac{h}{r}$ , kde $r$ označuje poloměr křivosti kulové plochy. Po dosazení dostaneme rovnici

$n\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{a}\right)=n^\prime\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{a^\prime}\right)$

Tento vztah umožňuje určit vzdálenost obrazu na optické ose, přičemž není nutná znalost úhlu $γ$ nebo vzdálenosti $h$ . Z této rovnice také vyplývá, že předmětovému bodu $P$ přísluší na optické ose právě jeden obraz $P^\prime$ . Z odvození tohoto vztahu je však vidět, že je platný pouze pro svazek paprsků, který svírá s optickou osou velmi malý úhel.

K odvození zobrazovací rovnice.

Uvedenou rovnici je možné přepsat do tvaru

$\frac{n^\prime}{a^\prime}-\frac{n}{a} = \frac{n^\prime-n}{r}$ ,

která je označována jako základní zobrazovací rovnice.

Předmětovou ohniskovou vzdálenost $f$ a obrazovou ohniskovou vzdálenost $f^\prime$ lze vyjádřit vztahy

$f = -\frac{nr}{n^\prime-n}$

$f^\prime = \frac{n^\prime r}{n^\prime-n}$

Ze zobrazovací rovnice je vidět, že pro $a^\prime\to\infty$ je $f = a$ a pro $a\to\infty$ je $f^\prime=a^\prime$ .

Použitím v zobrazovací rovnici dostaneme Gaussův tvar zobrazovací rovnice

$\frac{f}{a}+\frac{f^\prime}{a^\prime}=1$

Zavedeme-li dále proměnné $a = x + f$ a $a^\prime=x^\prime+f^\prime$ , dostaneme

$\frac{f^\prime}{x^\prime+f^\prime}+\frac{f}{x+f}=1$

Odkud po úpravě získáme Newtonův tvar zobrazovací rovnice pro lom.

$xx^\prime=ff^\prime$

[editovat] Konstrukce zobrazení

K zobrazení lomem lze také využít grafické konstrukce. Zde se využívá význačných paprsků, které prochází základními body. Příklady jsou uvedeny na následujících obrázcích, kde $F$ a $F^\prime$ jsou ohniska (předmětové a obrazové), $V$ je vrchol kulové plochy, $o$ označuje optickou osu, $y$ a $y^\prime$ označují příčný rozměr předmětu a obrazu, a $S$ je střed křivosti.

Graf. konstrukce zobrazení lomem pro vypuklou plochu.

Graf. konstrukce zobrazení lomem pro vydutou plochu.

[editovat] Zvětšení

Pro příčné zvětšení při lomu platí vztah

$\beta = \frac{na^\prime}{n^\prime a} = \frac{f}{f-a} = \frac{f^\prime-a^\prime}{f^\prime}$

[editovat] Optické zobrazení odrazem na kulové a rovinné ploše

Zobrazení odrazem na kulové ploše.

Uvažujme homogenní optické prostředí s absolutním indexem lomu $n$ , které je ohraničeno kulovou plochou, kterou se označuje jako kulové zrcadlo. Poloměr $r$ této kulové plochy budeme podle konvence počítat kladně, pokud je kulová plocha obrácena k dopadajícím paprskům vypuklou stranou. Sledujeme vlastnosti paprsků, které se na této ploše odrážejí.

[editovat] Zobrazovací rovnice

K odvození zobrazovací rovnice lze použít je možné využít základní zobrazovací rovnici získanou pro lom lom na kulové ploše.

Zákon odrazu říká, že úhel odrazu je roven úhlu dopadu, tzn. $\alpha^\prime=-\alpha$ . Považujeme-li odraz za speciální případ lomu, dostaneme z pro indexy lomu vztah

$n^\prime=-n$

Po dosazení do základní zobrazovací rovnice pro lom na kulové ploše lze získat rovnici ve tvaru

$-\frac{n}{a^\prime}-\frac{n}{a} = \frac{-n-n}{r}$

Tento vztah lze jednoduše upravit na tzv. zrcadlovou zobrazovací rovnici

$\frac{1}{a}+\frac{1}{a^\prime}=\frac{2}{r}$

Dosadíme-li do této rovnice $a\to\infty$ nebo $a^\prime\to\infty$ , dostaneme pro předmětovou i obrazovou ohniskovou vzdálenost stejný vztah

$f=f^\prime=\frac{r}{2}$

Podle tohoto vztahu lze Gaussův tvar zobrazovací rovnice přepsat pro odraz jako

$\frac{1}{a}+\frac{1}{a^\prime}=\frac{1}{f}$

Zavedením proměnných $a = x + f$ a $a^\prime=x^\prime+f^\prime$ můžeme zobrazovací rovnici vyjádřit v Newtonově tvaru, který má pro odraz tvar

$xx^\prime=f^2$

[editovat] Grafická konstrukce

K zobrazení odrazem lze také využít grafické konstrukce. Zde se využívá význačných paprsků, které prochází základními body. Příklady jsou uvedeny na následujících obrázcích, kde $F$ a $F^\prime$ jsou ohniska (předmětové a obrazové), $V$ je vrchol kulové plochy, $o$ označuje optickou osu, $y$ a $y^\prime$ označují příčný rozměr předmětu a obrazu.

Graf. konstrukce zobrazení odrazem pro vypuklou plochu.

Graf. konstrukce zobrazení odrazem pro vydutou plochu.

[editovat] Zvětšení

Pro příčné zvětšení při odrazu platí vztah

$\beta = -\frac{a^\prime}{a} = -\frac{f}{f-a} = \frac{f-a^\prime}{f}$

[editovat] Rovinné zrcadlo

Graf. konstrukce zobrazení odrazem pro rovinné zrcadlo.

Za zvláštní případ kulového zrcadla lze považovat zrcadlo rovinné. Rovinné zrcadlo získáme z kulového tehdy, blíží-li se poloměr křivosti zrcadla k nekonečnu, tzn. $r\to\infty$ . Potom je také $f=\frac{r}{2}\to\infty$ a po dosazení do zrcadlové zobrazovací rovnice dostaneme

$a = -a^\prime$

Předmět i obraz tedy leží na opačných stranách rovinného zrcadla, přičemž rovina zrcadla je jejich rovinou souměrnosti. Pro příčné zvětšení platí $\beta=-\frac{a^\prime}{a}=1$ . Obraz je tedy zdánlivý, přímý a stejně velký jako předmět.

[editovat] Využití

Prostřednictvím optických zobrazení geometrická optika umožňuje zjistit vlastnosti optického obrazu, k čemuž využívá geometrických konstrukcí nebo výpočtových metod.

Při geometrické konstrukci lze využít známých základních bodů soustavy. Z homocentrického svazku se vyberou pouze význačné paprsky, které prochází základními body. Jde především o paprsek jdoucí rovnoběžně s optickou osou, který po průchodu optickou soustavou směřuje do obrazového ohniska, paprsek, který prochází předmětovým ohniskem a po průchodu optickou soustavou je rovnoběžný s optickou osou, nebo paprsek, který prochází předmětovým uzlovým bodem, k němuž sdružený paprsek je rovnoběžný.

[editovat] Související články

Kategorie: Optika

Tento článek je převzat z české wikipedie - otevřené encyklopedie, originální článek naleznete na adrese: „http://cs.wikipedia.org/wiki/Optick%C3%A9_zobrazen%C3%AD“
Stránka byla naposledy upravena v Stránka byla naposledy editována 30. 10. 2008 v 09:34.
Veškerý text je dostupný za podmínek GNU Free Documentation License (Autorské právo pro podrobnosti).

Optické zobrazení

Obsah

[editovat] Optický obraz

[editovat] Skutečný a zdánlivý obraz

[editovat] Zvětšení

[editovat] Příčné (laterální) zvětšení

[editovat] Úhlové (angulární) zvětšení

[editovat] Osové (axiální) zvětšení

[editovat] Vlastnosti

[editovat] Význačné prvky optického zobrazení

[editovat] Optické zobrazení lomem a odrazem

[editovat] Optické zobrazení lomem na kulové ploše

[editovat] Zobrazovací rovnice

[editovat] Konstrukce zobrazení

[editovat] Zvětšení

[editovat] Optické zobrazení odrazem na kulové a rovinné ploše

[editovat] Zobrazovací rovnice

[editovat] Grafická konstrukce

[editovat] Zvětšení

[editovat] Rovinné zrcadlo

[editovat] Využití

[editovat] Související články